§ 5. Случаи сильного и слабого магнитных полей

Предположим для простоты, что электрическое поле имеет аксиальную симметрию (или любую другую, при которой в системе координат, связанной с главными осями, Пусть магнитное поле приложено вдоль оси не совпадающей в общем случае с главной осью

Тогда гамильтониан имеет вид

Рис. 9.2. Оси .

Рассмотрим сначала случай квадрупольного взаимодействия, слабого по сравнению с магнитным взаимодействием. В этом случае можно считать, что спин квантуется по оси Применим к квадрупольной части гамильтониана теорию возмущений. Проводя ось в плоскости осей и 2 (рис. 9.2), имеем

Подставляя в (9.60), получаем

В этом выражении члены с не вносят вклада в первый порядок теории возмущений, так как не имеет диагональных матричных элементов в представлении, когда диагонально. С другой стороны, член с имеет диагональные элементы, поскольку он состоит из произведений недиагональных элементов. Соотношения

позволяют легко увидеть, что диагональные элементы равны между собой. Поэтому диагональные матричные элементы можно найти следующим образом:

В результате получим

На рис. 9.3 показано влияние квадрупольного взаимодействия на уровни энергии спина в магнитном поле Поскольку

квадрупольное взаимодействие не дает сдвига центра резонансной линии в первом порядке теории возмущений. Более того, сдвиги для одинаковы. Поэтому уровни энергии имеют вид, показанный на рис. 9.3.

Представляет интерес то обстоятельство, что для полуцелого спина уровни энергии с сдвигаются на одну и ту же величину, а частота перехода между ними не меняется в первом порядке теории возмущений.

Рис. 9.3. Влияние квадрупольного взаимодействия в первом порядке теории возмущений. а — уровни энергии. Сдвиги всех уровней для имеют одинаковую величину; б — спектр поглощения, соответствующий такому расположению уровней энергии. Квадрупольное взаимодействие в первом порядке не оказывает влияния на центральную линню.

Переходы между уровнями совсем не чувствительны к деформациям в кристалле, тогда как для других переходов они могут привести к сдвигу частоты. Поэтому для ядер с очень сильной квадрупольной связью весьма вероятно, что даже в случае хороню отожженных кристаллов будет наблюдаться только переход между уровнями

В следующих порядках теории возмущений появляется сдвиг частоты и для перехода между уровнями равный по порядку величины

Другая экспериментальная ситуация возникает, когда квадрупольное взаимодействие намного больше магнитного взаимодействия. В этом случае в качестве первого приближения рассматривается квадрупольное взаимодействие.

Рис. 9.4. Уровни энергии, обусловленные квая рупольным взаимодействием, в отсутствие зеема невского расщепления.

В отсутствие внешнего поля гамильтониан имеет вид

(снова предполагаем аксиальную симметрию). Очевидно, коммутируют с давая квантовые числа и т. Поэтому для энергии получаем

Расположение уровней для спина показано на рис. 9.4. Мы замечаем, что уровни двукратно вырождены. Это соответствует тому, что поворот ядра на 180° не меняет электростатическую энергию. Если наложить переменное магнитное поле с не равной нулю компонентой, перпендикулярной оси то это вызовет резонансные переходы между уровнями с поскольку между этими состояниями имеются матричные элементы. В этом случае обычно говорят о «чисто квадрупольном резонансе», хотя переходы индуцированы магнитной дипольной связью с переменным полем.

В связи с формулой (9.66) важно отметить следующее. Для спина (вообще для спина , где — целое число) все уровни энергии дважды вырождены в отсутствие магнитного поля, в то время как для целого спина вырождение может быть полностью снято, например в состоянии с . Этот результат является частным случаем теоремы Крамерса, играющей важную роль при рассмотрении как электронного, так и ядерного магнитного резонанса. Теорема Крамерса формулируется следующим образом:

Для системы с моментом количества, движения где в любом состоянии нельзя полностью снять вырождение электрическими полями.

Из этой теоремы следует, что если система состоит из нечетного числа частиц со спином 1/2, то электрические поля не могут полностью снять вырождения.

Это вырождение обычно называют крамеровским вырождением. Доказательство его существования связано со свойствами системы при инверсии времени.