§ 4. Гамильтониан квадрупольного взаимодействия (часть 2)
Применим теперь теорему Вигнера — Эккарта для вычисления матричных элементов
. Имеем
Операторы полного момента количества движения ядра
представляются в виде
где
— компоненты орбитального и спинового моментов
нуклона. Так как
мы видим, что
Выражение
можно представить в виде линейной комбинации компонент
подобных приведенным в правом столбце табл. 9.1.
Соотношение (9.41) применимо в несколько более общей форме не только к
но и к линейным комбинациям компонент тензора
с данным значением
Таким образом, если мы рассмотрим функцию операторов
и функцию операторов
с теми же коэффициентами
то легко убедиться в том, что из (9.41), (9.46) и (9.47) следует
Применяя эту теорему, получаем
Здесь коэффициент
один и тот же для всех
Можно выразить С через матричный элемент с
следующим образом:
Так как квантовые числа
связаны с операторами, которые коммутируют с
можно не принимать их во внимание при вычислении правой части равенства (9.50). Введем величину
определяемую выражением
величину
называют квадрупольным моментом ядра. Пользуясь (9.50) и (9.51), находим
Поскольку нас интересуют матричные элементы, соответствующие одному определенному набору квантовых чисел
оператор входящий в гамильтониан, можно заменить, используя выражения (9.49) и (9.52). Вводя в гамильтониан эффективный квадрупольный член вида
мы получим все матричные элементы, диагональные по
Интересно, что для определения
вместо девяти компонент нужно знать только одну величину
Причина состоит
следующем. Согласно классическим представлениям, у ядра, обладающего определенным моментом количества движения, распределение заряда имеет осевую симметрию. Тогда, выбирая ось z в направлении оси симметрии, можно заметить, что зависимость энергии от ориентации ядра связана только с различием в распределении заряда вдоль оси
и в перпендикулярном к ней направлении. Именно разность между
Гамильтониан квадрупольного взаимодействия в форме (9.59) обычно используют при рассмотрении процесса релаксации, когда положение главных осей нельзя считать фиксированным в пространстве, поскольку оно зависит от времени. В этом случае использование системы координат, связанной с главными осями, приводит к трудностям. Здесь мы не будем рассматривать ядерную релаксацию за счет квадрупольного взаимодействия, хотя этот механизм играет важную роль в кристаллических диэлектриках и часто является доминирующим при комнатных температурах.