§ 4. Гамильтониан квадрупольного взаимодействия (часть 2)

Применим теперь теорему Вигнера — Эккарта для вычисления матричных элементов . Имеем

Операторы полного момента количества движения ядра представляются в виде

где — компоненты орбитального и спинового моментов нуклона. Так как

мы видим, что

Выражение можно представить в виде линейной комбинации компонент подобных приведенным в правом столбце табл. 9.1.

Соотношение (9.41) применимо в несколько более общей форме не только к но и к линейным комбинациям компонент тензора с данным значением Таким образом, если мы рассмотрим функцию операторов

и функцию операторов

с теми же коэффициентами то легко убедиться в том, что из (9.41), (9.46) и (9.47) следует

Применяя эту теорему, получаем

Здесь коэффициент один и тот же для всех Можно выразить С через матричный элемент с следующим образом:

Так как квантовые числа связаны с операторами, которые коммутируют с можно не принимать их во внимание при вычислении правой части равенства (9.50). Введем величину определяемую выражением

величину называют квадрупольным моментом ядра. Пользуясь (9.50) и (9.51), находим

Поскольку нас интересуют матричные элементы, соответствующие одному определенному набору квантовых чисел оператор входящий в гамильтониан, можно заменить, используя выражения (9.49) и (9.52). Вводя в гамильтониан эффективный квадрупольный член вида

мы получим все матричные элементы, диагональные по

Интересно, что для определения вместо девяти компонент нужно знать только одну величину Причина состоит следующем. Согласно классическим представлениям, у ядра, обладающего определенным моментом количества движения, распределение заряда имеет осевую симметрию. Тогда, выбирая ось z в направлении оси симметрии, можно заметить, что зависимость энергии от ориентации ядра связана только с различием в распределении заряда вдоль оси и в перпендикулярном к ней направлении. Именно разность между

определяет характерную величину

Очевидно, последний интеграл представляет собой классический аналог величины

Выражение (9.53) для эффективного квадрупольного взаимодействия справедливо в случае произвольной ориентации прямоугольной системы координат Поскольку тензор симметричен по можно выбрать систему координат, связанную с главными осями тензора в которой при . В этой системе координат

Используя уравнение Лапласа это выражение можно переписать в виде

Из (9.56) видно, что для определения необходимо только два параметра, связанных с производными от потенциала, а именно Обычно используют параметры которые называются параметром асимметрии и градиентом поля и определяются в виде

Для случая аксиальной симметрии, являющегося часто хорошей аппроксимацией, если ось совпадает с осью симметрии.

Как уже отмечалось, удобно пользоваться операторами и так как для них существуют простые правила отбора. Поэтому полезно выразить определяемое выражением (9.53), через операторы в произвольной (не связанной с главными осями) системе координат. Вводя величины

с помощью простых алгебраических операций найдем

Гамильтониан квадрупольного взаимодействия в форме (9.59) обычно используют при рассмотрении процесса релаксации, когда положение главных осей нельзя считать фиксированным в пространстве, поскольку оно зависит от времени. В этом случае использование системы координат, связанной с главными осями, приводит к трудностям. Здесь мы не будем рассматривать ядерную релаксацию за счет квадрупольного взаимодействия, хотя этот механизм играет важную роль в кристаллических диэлектриках и часто является доминирующим при комнатных температурах.