§ 2. Релаксация системы, описываемой спиновой температурой

Если система, имеющая энергетический спектр и т.д., находится в тепловом равновесии с резервуаром, имеющим температуру Т, то ее уровни населены с вероятностями которые определяются соотношением

Поэтому, поскольку существуют условия

мы имеем

где

— статистическая сумма, или «сумма состояний».

Соотношения (5.1), (5.3) можно интерпретировать двумя способами. Проиллюстрируем это, рассматривая одинаковых спинов.

Рис. 5.1. Уровни энергии для ядра со спином и графическое изображение зависимости населенности от энергии (б). Длина полосок, соответствующая населенности, менязгея но экспоненциальному закону.

В первой интерпретации спины рассматриваются как невзаимодействующие друг с другом. Тогда «система» состоит из одного спина и энергии относятся к уровням энергии одного спина. Во второй интерпретации полагают, что систему образуют все спинов. В этом случае представляет собой общую энергию всех спинов. Нам будет удобно использовать обе интерпретации. Однако следует заметить, что первая интерпретация справедлива только в том случае, если можно считать, что спины подчиняются статистике Максвелла — Больпмана; в то же время вторая интерпретация всегда верна, независимо от того, подчиняются ли отдельные частицы статистике Максвелла-Больцмана, Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна. Различия, вносимые статистикой, появляются только тогда, когда мы строим волновую функцию общей системы с помощью волновых функций индивидуальных спинов.

Мы будем говорить, что любую систему, для которой населенности удовлетворяют соотношению (5.1), можно описать с помощью температуры Т даже в том случае, если система не

находится в равновесии с каким-либо резервуаром. Соотношение (5.3) позволяет дать простую картину распределения населенностей уровней. Рис. 5.1 иллюстрирует случай, относящийся к первой интерпретации. В данном случае рассматриваются населенности энергетических состояний одного спина помещенного в постоянное магнитное поле.

Система уровней, показанная на рис. 5.2, очевидно, не соответствует тепловому равновесию, поскольку огибающая полосок на рисунке не является экспонентой.

На рис. 5.2, б показаны возможные переходы, при которых сохраняется общая энергия спинов. Два спина, состояния которых обозначены крестиками, одновременно переходят в состояния, обозначенные кружками; один спин переходит на более высокий уровень энергий, другой — на более низкий.

Рис. 5.2. Распределение населенностей, которое нельзя описать с помощью температуры и разрешенные переходы двух спинов из состояний, обозначенных крестиками, в состояния, обозначенные кружками (б).

(Такой переход описывается членом диполь-дипольного взаимодействия вида ) Число переходов в единицу времени спинов из состояний, обозначенных крестиками, в состояния, обозначенные кружками, равно произведению вероятности нахождения двух спинов в начальном состоянии на вероятность перехода если спииы находятся в начальном состоянии. Таким образом,

Обратный переход из состояний, обозначенных кружками, в состояния, обозначенные крестиками, будет иметь скорость определяемую выражением

При равновесии эти скорости должны быть равны. Таким образом, мы предполагаем, что выполняется принцип детального

равновесия. Так как находим

Но это соотношение представляет собой условие теплового равновесия среди состояний, поскольку отвечающие им уровни энергии эквидистантны.

Таким образом, мы видим, что тепловое равновесие наступает в результате таких процессов, которые показаны на рис. 5.2, б. Обычно скорость такого процесса порядка обратной величины ширины линии в твердой решетке, т. е. от 10 до для типичных ядер. Следовательно, если значения составляют от миллисекунд до секунд, то спиновые уровни ядер будут населены в соответствии с больцмановским распределением.

Теперь мы перейдем к рассмотрению релаксации системы ядерных спинов, гамильтониан которой имеет собственные значения а населенность данного состояния равна (Здесь через обозначено состояние всей системы, а не энергия отдельного спина.) По условию нормировки

В этом случае среднее значение энергии системы

Примем далее, что энергии отсчитываются от такого уровня, что имеет место условие

которое выполняется для зеемановской и диполь-дипольной энергий.

Для определения процесса релаксации рассмотрим изменение средней энергии. Если вместо спиновой температуры ввести величину то мы получим

Поскольку мы также имеем

Предположим, что вероятности подчиняются простым линейным уравнениям движения. Определяя величину как вероятность перехода в системе в единицу времени под влиянием решетки из состояния если система находилась в состоянии уравнение движения можно записать в виде

Это уравнение часто называют основным кинетическим уравнением.

Подставляя из (5.13) в (5.12), находим

где вторая форма суммы приведена ввиду того, что индексы входят в нее более симметрично. С помощью уравнений (5.11) и (5.14) можно получить дифференциальное уравнение, определяющее поведение спиновой температуры. Имеются две задачи: 1) вычисление и 2) определение формы уравнения (5.14) для случая, когда справедливо требование, что понятие спиновой температуры применимо в любой момент времени. Обратимся сначала к вычислению Имеем

и

Найдем сначала приближенное выражение для Считая опять температуру достаточно высокой для того, чтобы условие выполнялось для большинства состояний, разложим в степенной ряд и оставим только первые члены разложения:

Очевидно, это приближение, заключающееся в разложении в степенной ряд при сохранении лишь первых членов, применимо только в том случае, если для характерных энергий. Однако законность этого приближения можно показать и при более слабых условиях. Для этого здесь и при выводе уравнений (5.19) — (5.26) можно применить метод, использованный в приложении

Ввиду соотношения (5.10) второй член в правой части обращается в нуль. Если пренебречь членом, пропорциональным то станет равным полному числу состояний. Поскольку это совпадает со значением при бесконечно большой температуре можно положить

Учитывая данное обстоятельство и воспользовавшись формулами (5.15) и (5.16) в приближении высоких температур, получаем

Таким образом,

Вернемся теперь к уравнению (5.14). Поскольку рассматриваемой системе всегда можно приписать температуру, имеем

Примем далее, что, когда система находится в тепловом равновесии с решеткой, переходы между каждой парой уровней также должны находиться в равновесии, т. е. что выполняется так называемый принцип детального равновесия. Обозначим через значение вероятности для случая, когда спины находятся в тепловом равновесии с решеткой. Тогда из принципа детального равновесия следует

или

где

Подставляя (5,21) и (5.23) в уравнение (5.14), находим

Разлагая далее экспоненту в ряд, получаем

Здесь

Подставляя (5.26) в (5.25) и сравнивая результат, получающийся для с формулой (5.20), находим

где

Формула (5.28) сначала была получена Гортером [1] при условии, что Как мы видим, в таком ограничении нет необходимости.

Большое преимущество формулы (5.28) состоит в том, что, постулируя понятие спиновой температуры, мы тем самым учитываем спин-спиновое взаимодействие. На основании уравнений движения (5.14) нужно было бы предположить наличие большого числа постоянных времени, описывающих спин-решеточную релаксацию, однако постулат о спиновой температуре приводит к тому, что релаксация всей системы описывается одной экспонентой.

Рассматриваемые состояния можно считать почти точными решениями ядерного спинового гамильтониана, между которыми (поскольку они не являются точными состояниями) происходят быстрые переходы, гарантирующие тепловое равновесие. Однако переходы между этими состояниями, которые возбуждаются решеткой, происходят очень редко. После каждого индуцированного решеткой перехода, нарушающего ядерное распределение, приближенные уровни восстанавливаются, так что, когда происходит следующий спиновый переход, индуцированный решеткой, спины уже оказываются в распределении, описываемом некоторой температурой. Здесь предполагается, что ошибкой, связанной с рассмотрением состояний как точных решений, можно пренебречь.