§ 7. Уравнения Блоха

Как квантовомеханическое, так и классическое описания движения невзаимодействующих спинов приводят к выводу о существовании периодического движения во вращающейся системе координат. Например, если и намагниченность параллельна полю Но при то вектор намагниченности будет прецессировать вокруг направления во вращающейся системе координат, ориентируясь попеременно параллельно и антипараллельно постоянному магнитному полю. В этом случае в лабораторной системе координат намагниченность будет непрерывно изменять свою ориентацию по отношению к большему по величине постоянному магнитному полю. При этом энергия, затрачиваемая на поворот спинов от параллельной постоянному полю ориентации к антипараллельной, будет периодически

возвращаться обратно. В соответствии с этим при увеличении времени наблюдения не будет наблюдаться увеличения поглощенной энергии, а будет иметь место попеременно поглощение и возвращение энергии. Такая ситуация напоминает случай, описанный в гл. 1 перед введением связи спинов с тепловым резервуаром. (Подчеркнем, что в гл. 1 в системе просто выравнивались населенности уровней, в то время как в рассматриваемом здесь случае получаются населенности, изменяющиеся во времени. Поэтому эти две модели основываются на различных допущениях.)

При отсутствии контакта с решеткой отсутствует и механизм, обеспечивающий установление равновесного значения намагниченности. По аналогии с уравнением

естественно ожидать, что равновесное значение будет устанавливаться по закону

где — равновесное значение намагниченности. Последнюю величину можно выразить через магнитную восприимчивость и амплитуду постоянного магнитного поля

Объединяя уравнение (2.72) с уравнением, определяющим изменение М под действием момента сил, получаем

Теперь учтем тот факт, что в состоянии теплового равновесия при наличии постоянного магнитного поля намагниченность должна устанавливаться параллельно что соответствует исчезновению и у-компонент. В соответствии с этим

Мы ввели здесь одно время релаксации для и у-компонент намагниченности, однако необходимо помнить, что это время релаксации отличается от Отличие скорости затухания поперечных компонент от скорости затухания колебаний продольной компоненты становится понятным, если вспомнить о том, что в противоположность релаксации продольной компоненты релаксация поперечных компонент не сопровождается изменением энергии магнитного момента в постоянном магнитном

поле. Поэтому при релаксации поперечных компонент не происходит передачи энергии в тепловой резервуар. (Последнее утверждение не вполне точно при насыщении магнитного резонанса в твердых телах. В этом случае, как показал Редфилд, учет передачи энергии в тепловой резервуар может привести к появлению важных эффектов. Теория насыщения Редфилда рассматривается в гл. 6, начиная с § 5.)

С другой стороны, принятый нами постулат о существовании данного (экспоненциального) закона релаксации является весьма произвольным. Он очень полезен при описании ряда важных эффектов, но его не следует понимать слишком буквально. Согласно уравнениям (2.75), при наличии постоянного магнитного поля релаксация поперечных компонент происходит по экспоненциальному закону. (Этот результат легко усмотреть, если перейти к системе координат, вращающейся с угловой скоростью вокруг направления постоянного магнитного поля; в этой системе эффективное поле равно нулю.)

В твердом теле, в котором вблизи каждого ядра расположены другие ядра, один из возможных простых механизмов релаксации поперечных компонент возникает вследствие разброса значений скорости прецессии для магнитных моментов отдельных ядер. Этот разброс обусловлен магнитными полями, действующими со стороны магнитных моментов одних ядер на магнитные моменты других ядер. При этом на магнитный момент ядра действует дополнительное локальное поле , где — расстояние между соседними ядрами. Это поле складывается с постоянным магнитным полем или вычитается из него. В результате когерентность фаз прецессирующих магнитных моментов, имеющих одинаковые фазы в момент времени в последующие моменты времени будет нарушаться. К моменту времени определяемому равенством расфазировка достигнет значительной степени, вследствие чего векторная сумма моментов значительно уменьшится. Поскольку должно быть равно по порядку величины времени релаксации для в рассматриваемой модели получаем

в большинстве случаев для ядерных магнитных моментов это значение составляет приблизительно

Уравнения (2.74) и (2.75) впервые были предложены Блохом, и их называют обычно уравнениями Блоха. Хотя область их применимости ограничена, они сыграли очень важную роль при исследовании магнитного резонанса, так как в очень простой форме учитывают релаксационные эффекты.