Глава 2. Основы теории

§ 1. Движение невзаимодействующих спинов. Классическое рассмотрение

Изложение основ теории мы начнем с классического описания движения спина во внешнем магнитном поле Н, которое, вообще говоря, может зависеть от времени. В поле Н на магнитный момент действует момент сил . Если в магнитное поле поместить намагниченный стерженек, установленный в подшипниках таким образом, что он может свободно ориентироваться в пространстве, то момент сил будет стремиться установить его параллельно направлению Н. В случае когда поле Н не зависит от времени и трение в подшипниках отсутствует, стерженек будет колебаться около положения равновесия. При наличии трения в подшипниках колебания стерженька будут затухать до тех пор, пока он не установится параллельно Н; затуха» ние обусловлено передачей энергии колебаний подшипникам.

Если намагниченный стерженек обладает моментом количества движения, то ситуация изменяется, так как стерженек будет двигаться подобно гироскопу. Как будет показано ниже, при отсутствии трения в подшипниках угол между магнитным моментом и полем Н, если последнее не зависит от времени, будет оставаться неизменным и магнитный момент будет прецессировать вокруг направления Н. Энергия будет по-прежнему сохраняться, но превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно уже не будет происходить. Однако и в этом случае при наличии трения в подшипниках магнитный момент будет ориентироваться параллельно постоянному полю Н. Ниже мы увидим, что трение соответствует релаксационному процессу, который характеризуется временем релаксации

Уравнение движения магнитного стерженька мы получим, приравнивая момент сил скорости изменения механического момента

Учитывая, что и исключая из этого уравнения получаем

Как следует из этого уравнения, в каждый момент времени приращение перпендикулярно как так и Н независимо от того, изменяется ли поле Н со временем или нет. Обратимся к рис. 2.1. Если начальную точку вектора считать неподвижной, то его конец будет двигаться от плоскости чертежа. Угол между и Н не изменяется. Если Н не зависит от времени, то вектор описывает конус.

Решение уравнения (2.2) при различных предположениях о характере зависимости Н от времени можно получить обычными методами решения дифференциальных уравнений.

Рис. 2.1. Относительное положение векторов

Однако, как будет видно из дальнейшего, в этом случае удобнее всего применить специальный прием, который заключается во введении вращающейся системы координат.

Рассмотрим векторную функцию времени проекции которой на соответствующие оси прямоугольной системы координат обозначим через Если через к обозначить единичные векторы, направленные вдоль этих осей, то величину можно записать в виде

Обычно и к считают не зависящими от времени. Мы рассмотрим более общий случай, когда длины этих векторов фиксированы, но векторы могут вращаться. Предположим, что они вращаются с мгновенной угловой скоростью Тогда

При этом производная от по времени равна

Здесь символ введен для обозначения скорости изменения вектора во времени в системе координат, определяемой

векторами . Например, когда проекции вектора на направления и к не меняются во времени.

С учетом (2.5) уравнение движения для вектора в системе координат, вращающейся относительно лабораторной системы координат с произвольной угловой скоростью можно записать в следующем виде:

или

Из уравнения (2.7) видно, что движение вектора во вращающейся системе координат будет таким же, как в лабораторной системе при замене магнитного поля Н эффективным полем :

Теперь легко решить уравнение движения для в постоянном поле если выбрать таким образом, чтобы поле было равно нулю. Для этого нужно положить Поскольку в этой системе отсчета вектор фиксирован по отношению к осям . Следовательно, вектор будет неподвижен относительно системы осей, которые сами вращаются с угловой скоростью в лабораторной системе координат. Другими словами, вектор вращается с угловой скоростью относительно лабораторной системы координат. Угловая частота называется ларморовской частотой.

Подчеркнем, что классическая частота прецессии равна по величине угловой частоте, необходимой, согласно элементарной квантовой теории, для наблюдения магнитного резонансного поглощения. Перейдем теперь к более подробному рассмотрению квантовомеханического описания.