B. Вывод функции корреляции для поля, случайным образом принимающего значения ...

Предположим, что поле случайным образом принимает только два значения которые обозначим индексами 1 и 2. Следовательно,

Нам нужно найти функцию корреляции

черта здесь означает усреднение по ансамблю.

Если в момент времени поле имеет значение то для йодного из членов ансамбля можно написать

где могут быть равными нулю или единице в зависимости от того, какое значение или принимает поле в момент времени т. Теперь усредним выражение по ансамблю для различных путей изменения поля. При этом величины заменяются их средними по ансамблю значениями представляющими собой вероятности того, что в ансамбле, в котором при поле имело значение , в момент времени оно примет значение или

Таким образом, имеем

Здесь конечно, предполагается, что при Ни так что при

Если в начальный момент поле имеет значение (что одинаково вероятно), то выражение для функции корреляции будет отличаться от приведенного только перестановкой индексов 1 и 2.

Предположим, что изменение во времени вероятностей определяется уравнениями вида

Это задача о «нормальных колебаниях», решение которой можно найти, пользуясь подстановкой по условию нормировки),

где Поскольку обращается в нуль, имеем Используя выражение

(В.4) и (В.6), находим

Такой же результат для получается, если в момент поле имеет значение Чтобы получить окончательное среднее по ансамблю, нужно учесть эти два случая с одинаковым весом (т. е. усреднить результат по начальным значениям поля). Это среднее значение мы обозначим двойной чертой сверху, так как усреднение производится как по ансамблю начальных условий, так и по ансамблю различных путей изменения поля при данных начальных условиях. Тогда

Это и есть та самая функция корреляции с временем корреляции определяемым соотношением которая фигурирует в гл. 5.