§ 4. Адиабатическое и быстрое изменения магнитного поля

Значение полученных результатов наиболее полно выясняется при рассмотрении поведения спиновой системы во внешнем магнитном поле Но, зависящем от времени. Для простоты предположим, что спиновая система термически изолирована от внешней среды, но сама может быть или не быть в состоянии теплового равновесия. Первое из упомянутых предположений удовлетворяется, если эксперименты выполняются за интервалы времени, малые по сравнению с временем спин-решеточной релаксации. В этом случае гамильтониан системы зависит только от ее внутренних переменных, тогда как спин-решеточная релаксация описывается членами гамильтониана, зависящими, как следует из (5.33), от внутренних и внешних переменных системы. Если система находится во внутреннем тепловом равновесии, то ее можно описывать спиновой температурой и тогда справедливо выражение (6.18). Теперь рассмотрим три возможных случая.

а. Гамильтониан системы не зависит от времени (приложенное поле является постоянным). В этом случае средняя энергия постоянна во времени независимо от того, описывается система спиновой температурой или нет. Если система состоит из многих сильно взаимодействующих друг с другом подсистем, которые в начальный момент времени выведены из состояния равновесия, то следует ожидать, что необратимые процессы приведут систему к внутреннему равновесию, описываемому единой спиновой температурой 0. В течение этого процесса полная энергия сохраняется, так как система, на которую не действуют внешние силы, описывается не зависящим от времени гамильтонианом. Доказательство последнего утверждения предоставляется читателю (задача 6.5).

б. Гамильтониан медленно изменяется во времени. Критерием медленного изменения является такая высокая скорость внутреннего переноса энергии в любой момент времени, что систему всегда можно описать единой температурой 0. При этом условии изменения являются обратимыми и энтропия системы остается постоянной.

в. Гамильтониан изменяется скачком. Такое изменение может быть результатом резкого переключения поля . Термин «скачок» означает настолько быстрый процесс, что за время его протекания различные спины системы не изменяют свое направление.

Исследуем более подробно все перечисленные ситуации.

а. Гамильтониан системы не зависит от времени. Рассмотрим систему, которая в начальный момент времени не находится в

тепловом равновесии. Предположим, что составные части системы взаимодействуют между собой и система достигает внутреннего равновесия, описываемого «конечной» температурой . Если в начальный момент времени энергия системы (обозначим ее известна, то температуру можно вычислить, используя факт сохранения энергии системы, описываемой гамильтонианом, не зависящим от времени. Из выражения (6.12), связывающего энергию Е с температурой, учитывая сохранение энергии

получаем

Закон Кюри позволяет вычислить намагниченность которую приобретает система после установления внутреннего теплового равновесия;

где определяется формулой (6.20). В течение процесса уста новления внутреннего теплового равновесия энтропия не является постоянной, поскольку идут необратимые процессы. Но в конечном итоге энтропия принимает равновесное значение, соответствующее температуре

Если гамильтониан можно разделить на две коммутирующие части, описывающие две подсистемы, то энергия каждой из них в отдельности сохраняется. Тепловое равновесие всей системы в этом случае нельзя описать единой температурой. Следует считать, что в равновесном состоянии каждая из подсистем имеет свою характерную температуру. Мы встретимся ниже с такой ситуацией при рассмотрении спиновой системы во вращающейся системе координат. В некоторых случаях с полной уверенностью нельзя считать подсистему достаточно замкнутой, чтобы описывать ее единой температурой, но часто мы будем пользоваться таким описанием, надеясь, что оно все же возможно.

б. Медленное, или адиабатическое, изменение магнитного поля. Чтобы изменение поля Но было адиабатическим, оно должно удовлетворять двум условиям.

Во-первых, должен отсутствовать поток тепла между спиновой системой и ее окружением. Для этого необходимо, чтобы изменение поля происходило за интервалы времени, меньшие времени спин-решеточной релаксации Часто имеет

порядок несколько секунд, и путем охлаждения системы можно довести времена до нескольких часов. Такие большие времена практически бесконечны.

Во-вторых, необходимо, чтобы после каждого малого изменения поля прежде чем произойдет следующее, в спиновой системе установилась новая температура.

Рис. 6.1. Зависимость конечной температуры от конечного магнитного поля при адиабатическом уменьшении поля от значения при начальной температуре . Видно, что слабо зависит от при

Это условие обычно выполняется, если изменение поля за период прецессии магнитных моментов ядер в локальном поле ничтожно мало. Период прецессии ядерного магнитного момента в локальном поле составляет несколько десятых миллисекунды. Между рассмотренными временными интервалами существует область интервалов, на которых изменение поля является адиабатическим. В адиабатическом процессе энтропия постоянна. Из выражения (6.18) следует, что величина также остается постоянной. Если адиабатически изменять поле от начального значения до конечного то конечная температура определится соотношением

где — начальная температура. Из (6.23) следует известный результат — возможность охлаждения спиновой системы при адиабатическом размагничивании. Если начальное сильное магнитное поле в котором находится образец,

адиабатически уменьшить до значения то

Таким образом, конечная температура спинов много меньше первоначальной. Если первоначально спины находились в тепловом равновесии с термостатом (например, решеткой, охлажденной до температуры жидкого гелия), то конечная температура будет много меньше температуры термостата. Заметим, что, чем больше и чем меньше Нлок, тем охлаждение более эффективно. Обычно для уменьшения Нлок магнитные атомы разбавляют.

На рис. 6.1 изображена зависимость конечной температуры от значения конечного поля для произвольной начальной температуры . Как видно, температура резко уменьшается до тех пор, пока приложенное магнитное поле падает от начального значения до значения, сравнимого с локальным полем. Дальнейшее уменьшение внешнего поля не приводит к заметному снижению температуры.

Закон Кюри позволяет вычислить намагниченность, если температуру определить из выражения (6.23).

Рис. 6.2. Зависимость намагниченности от приложенного поля в случае его адиабатического изменения. Предполагается, что Видно, что не зависит от для и изменяется до нуля, когда стремится к нулю.

Если вначале в поле намагниченность системы была то конечная намагниченность определится формулой

Эта зависимость представлена на рис. 6.2. Поскольку для больших значений поля Н температура пропорциональна то в процессе охлаждения почти не отличается от М до тех пор, пока внешнее поле не станет сравнимым с локальным полем

Зависимость, изображенная на рис. 6.2, показывает, что с понижением внешнего поля до нуля намагниченность также уменьшается до нуля. Так как изменения поля обратимы (энтропия сохраняется постоянной), то намагниченность может возвратиться к исходному значению при увеличении поля от нуля до его первоначального значения . Спин-решеточная релаксация не влияет на процесс восстановления намагниченности потому что, как мы постулировали выше, длительность этого процесса гораздо меньше Процесс восстановления намагниченности может показаться удивительным тем, кто впервые встретился с магнетизмом, изучая магнитный резонанс. В магнитном резонансе учат, что для намагничивания образца из ненамагниченного состояния необходим интервал времени порядка Действительно, одно лишь адиабатическое включение статического магнитиого поля Ялок, действующего на спины, первоначально находящиеся в нулевом поле при термодинамическом равновесии с решеткой приведет, согласно закону Кюри и выражению (6.23), к намагниченности

где — намагниченность при тепловом равновесии между спинами и решеткой в поле которая устанавливается в результате спин-решеточной релаксации. Если , намагниченность мала, но тем не менее не равна нулю.

Важным следствием выражения (6.25) или рис. 6.2 является равенство при Как уже отмечалось, оно является очень общим следствием закона Кюри независимо от температуры. (Заметим, однако, что при выводе закона Кюри использовалось высокотемпературное приближение. При достаточно низких температурах это приближение нарушается и в нулевом поле возможно появление спонтанной намагниченности.) Замечательно то, что степень порядка спиновой системы совершенно одинакова в случаях, когда Очевидно, что система с конечной намагниченностью упорядочена, однако какой порядок может быть в системе с ? Этот парадокс можно объяснить тем, что даже в отсутствие внешнего поля на спины действуют локальные магнитные поля, создаваемые соседними спинами. Каждый отдельный спин ориентируется вдоль или против направления локального поля на нем. В сильно упорядоченной системе имеется значительный избыток спинов, ориентированных вдоль локальных полей, по сравнению со спинами,

ориентированными против локальных полей. Однако, поскольку в различных ядерных узлах локальные поля имеют случайные направления (здесь не рассматриваются высокоупорядоченные спиновые конфигурации, такие, как в ферромагнетиках), то результирующая макроскопическая намагниченность равна нулю.

в. Резкое переключение магнитного поля. Мы рассмотрели обратимый процесс. Теперь вернемся к процессам, скоротечность которых приводит к необратимости. Предположим, что система описывается волновой функцией Зависящее от времени уравнение Шредингера запишется в виде

где М — оператор полного магнитного момента, а гамильтониан дипольного взаимодействия. Гамильтониан зависит от времени вследствие зависимости от времени приложенного поля Н. В случае резкого переключения полагаем, что напряженность поля Н скачком изменяется от одного значения к другому в момент времени и в дальнейшем не зависит от времени. Обозначая через моменты времени непосредственно до и после имеем

или

так как гамильтониан не принимает бесконечного значения, хотя и испытывает разрыв. Таким образом, волновая функция непосредственно до и после переключения имеет одинаковые значения.

Используя равенство (6.29), можно показать, что скачкообразное изменение поля Н приводит к изменению среднего значения энергии Е, которое в любой момент времени равно

Тогда

где средние значения намагниченности и дипольной энергии при определяемые как

Аналогично

Равенство означает, однако, что ожидаемые значения как намагниченности, так и дипольной энергии в моменты совпадают. Этот результат отражает физический факт совпадения ориентаций всех спинов в моменты времени

Таким образом, можно написать

Если предположить, что непосредственно перед скачком поля система находилась в состоянии теплового равновесия при температуре то, используя полученное уравнение, можно методами, рассмотренными в § 3, определить средние значения.

До сих пор мы не использовали матрицу плотности, чтобы сделать эту главу доступной тем читателям, которые еще не достаточно знакомы с формализмом. Полученные результаты можно записать компактно, учитывая, что уравнение (6.29) эквивалентно следующему равенству для матрицы плотности

Тогда

Предполагая, что в момент времени при температуре 0; имеет место тепловое равновесие, получаем

Поэтому

Используя высокотемпературное приближение и определение (6.14), после преобразований находим

откуда имеем

Немедленно после переключения поля спиновая система вообще не находится во внутреннем тепловом равновесии, даже если

она была в таком состоянии в момент времени Через достаточно большой промежуток времени в системе установится определенная температура которую можно вычислить. Поскольку для гамильтониан не зависит от времени, то энергия сохраняется:

Однако

определяется выражением (6.40). Таким образом,

Рис. 6.3. Зависимость от времени магнитного поля Н, волновой функции энергии Е, спиновой температуры 0 и намагниченности М при выключении магнитного поля скачком.

Смысл выражения (6.42) можно понять из частного примера. Предположим, что внешнее магнитное поле скачком выключается в момент времени от значения до нуля. Тогда что дает

Эта конечная температура резко отличается от температуры, достигаемой при адиабатическом выключении поля,

При выключении поля скачком температура остается неизменной, тогда как медленное выключение приводит к охлаждению системы.

Временные зависимости различных физических величин при выключении поля скачком при приведены на рис. 6.3.

Мы описали эксперимент, который очень близок к известному эксперименту Паунда и Пёрсела [7] по достижению отрицательной температуры. За счет резкого переключения направления магнитного поля на обратное им удалось ориентировать

намагниченность антипараллельно постоянному полю. При такой ориентации верхние зеемановские уровни заселены больше нижних, что соответствует отрицательной зеемановской температуре. Любая система с преимущественной заселенностью верхних энергетических уровней в принципе может иметь отрицательную температуру. В дополнение к оригинальной статье Паунда и Переела обращаем внимание читателя на лекцию ван Флека [8], посвященную общим представлениям о температуре в магнетизме, в которой превосходно объяснен этот эксперимент и обсуждено понятие отрицательной температуры. (Профессор ван Флек предупреждает, что в тексте лекции имеется несколько неверных цифр.)