§ 3. Поглощение энергии и спин-решеточная релаксация

Сделаем теперь следующий шаг и выясним особенности поведения макроскопического образца в условиях магнитного резонанса. Для простоты рассмотрим систему, содержащую ядра со спином (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Уровни энергии для спина

Поскольку в макроскопическом образце много ядер, удобно ввести населенности которые означают числа спинов в состояниях соответственно.

Под воздействием переменного поля населенности изменяются в результате вынужденных переходов; при этом, конечно, общее число спинов остается постоянным. Пусть — вероятность перехода в единицу времени спина с уровня на уровень — вероятность обратного перехода. Тогда можно написать следующее дифференциальное уравнение для изменения населенности со временем:

Не делая пока никаких предположений относительно вычисления заметим, что известная формула для вероятности перехода в единицу времени следующая из

нестационарной теории возмущений, имеет вид

где — возмущение, вызывающее переход из состояния а с энергией в состояние с энергией Поскольку вероятности переходов равны. Это обстоятельство приводит в данном случае к условию Следовательно,

Удобно ввести переменную (избыток населенности), представляющую собой разность населенностей двух уровней. Тогда две переменные и можно выразить через и пользуясь уравнениями

Подставляя (1.16а) в (1.15), получаем уравнение

решение которого имеет вид

где — значение при Из решения видно, что если вначале населенности уровней были различными, то в конце концов в результате вынужденных переходов они сравниваются и разница в населенности исчезает.

Скорость поглощения энергии высокочастотного поля определяется разностью между числом квантов которые поглощаются при переходе спинов с нижнего уровня энергии на верхний, и числом квантов, которые испускаются при обратном переходе. Таким образом,

Следовательно, чтобы имело место поглощение энергии, число не должно равняться нулю, т. е. должен существовать избыток населенности на верхнем или нижнем уровне. Если верхнее состояние населено больше, чем нижнее, результатирующее поглощение отрицательно, т. е. система отдает энергии больше, чем получает. Эта возможность послужила основой для

создання квантовых генераторов и усилителей, известных под названием мазеры.

Таким образом, если приведенные выше уравнения правильно описывают процесс, резонансное поглощение энергии в конце концов должно прекратиться сигнал резонанса не будет наблюдаться, что противоречит опыту. Еще более серьезное противоречие возникает, если принять (что означает отсутствие внешнего переменного поля). При этом из наших уравнений следует, что т. е. населенности не изменяются со временем. Однако если поместить ненамагниченный образец в постоянное магнитное поле, то он намагнитится. Иными словами, направление ядерных моментов, параллельное полю, является предпочтительным, т. е. больше соответствует состоянию полной поляризации, которое возможно только при абсолютном нуле температуры). Следовательно, для процесса намагничивания образца необходимо, чтобы скорость переходов из верхнего состояния в нижнее была больше скорости обратных переходов. При таком процессе спиновая система теряет энергию, иначе говоря, происходит отвод тепла. Для этого необходимо, чтобы существовала некоторая другая система, способная поглощать энергию. Окончательная разность населенностей уровней спиновой системы зависит от способности другой системы поглощать энергию. Говоря на языке термодинамики, передача тепла будет продолжаться до тех пор, пока отношение населенностей не будет соответствовать равновесному значению для температуры Т резервуара, в который передается энергия. Окончательные равновесные населенности этом случае удовлетворяют соотношению

Таким образом, необходимо предположить существование механизма, вызывающего переходы между уровнями спиновой системы с населенностями и и обусловленного взаимодействием с другой системой. Пусть — вероятность перехода в единицу времени из состояния в состояние под влиянием такого взаимодействия, — вероятность обратного перехода. Тогда в отсутствие высокочастотного поля

Введем опять переменные и Теперь уже нельзя считать вероятности перехода вверх и вниз одинаковыми, так как это не

давало бы преимущества переходам вниз и не приводило бы к намагничиванию образца. В самом деле, в стационарном состоянии и из уравнения (1.21) мы получаем

откуда с помощью уравнения (1.20) находим

Естественно задать вопрос, почему здесь не применимы аргументы, приводящие к равенству

Рис. 1.3. Переходы: а — разрешенный, — запрещенный.

Решение этого парадокса состоит в том, что для термического перехода, помимо взаимодействия с другой системой, требуется существование определенного энергетического состояния этой системы, при котором возможен переход. Это можно проиллюстрировать, предположив, что резервуар имеет только два уровня энергии, расстояние между которыми точно такое же, как у ядерной системы. Если ядро и резервуар вначале находятся в противоположных состояниях (рис. 1.3, а), то одновременный переход, указанный стрелками, удовлетворяет закону сохранения энергии. Следовательно, ядро может отдавать энергию решетке. С другой стороны, если обе системы находятся в верхнем состоянии (рис. 1.3, б), то одновременный переход невозможен, так как при этом не сохраняется энергия. В результате скорость ядерного перехода зависит не только от матричных элементов, но также и от вероятности того, что резервуар находится в состоянии, при котором возможен переход.

Таким образом, если мы обозначим населенности ядерных состояний 1 и 2 через а населенности состояний а и через то число указанных на рис. 1.3, а переходов будет равно

где — вероятность такого перехода за единицу времени при условии, что ядро и решетка действительно находятся в

состояниях 1 и соответственно. Стационарное состояние удовлетворяет условию, которое мы найдем, приравняв скорость такого перехода скорости обратного перехода:

Поскольку из квантовой теории следует равенство мы видим, что при тепловом равновесии

Поэтому ядерные уровни будут характеризоваться таким же отношением населенностей, как и решеточные, т. е. населенности ядерных уровней будут находиться в тепловом равновесии с решеткой. Кроме того, для этой простой модели мы можем сравнить

и убедиться в том, что они не равны друг другу.

Оставим теперь нашу специальную модель и вернемся к уравнению (1.21). После подстановки (1.16а) для и получим уравнение

которое можно записать также в виде

где

Из решения уравнения (1.28)

(где А — постоянная интегрирования) видно, что — равновесная разность населенностей, скорость установления которой характеризуется промежутком времени так называемым «временем спин-решеточной релаксации». Например, процесс намагничивания первоначально не намагниченного образца происходит по экспоненциальному закону возрастания до равновесного значения

Таким образом, представляет собой время, необходимое для намагничивания образца.

Объединив два уравнения для найдем полную скорость перехода, обусловленную тепловыми процессами и внешним переменным полем:

Из уравнения (1.32) следует, что в стационарном состоянии

Следовательно, до тех пор пока и поглощение энергии внешнего переменного поля практически не нарушает равновесных населенностей. Скорость поглощения энергии определяется следующим выражением:

Ниже мы увидим, что вероятность пропорциональна квадрату амплитуды переменного магнитного поля. Тогда из (1.34) следует, что, повышая амплитуду переменного поля, можно увеличивать поглощаемую ядрами мощность до тех пор, пока Однако это утверждение оказывается неверным, как только становится порядка При дальнейшем увеличении поглощаемая мощность остается постоянной. Этот эффект называется насыщением. Наблюдая эффект насыщения, можно измерять если только имеется достаточная информация для вычисления (часто встречающаяся ситуация).

Мы познакомились с несколькими величинами, необходимыми для описания магнитного резонанса. При этом выяснилось, что очевидно, связано с микроскопическими деталями строения как ядерной системы, так и резервуара. Мы рассмотрим в дальнейшем различные механизмы спин-решеточной релаксации и покажем, каким образом можно вычислить для некоторых из них. В ранних работах по ядерному резонансу высказывались опасения по поводу того, что процесс спин-решеточной релаксации может оказаться очень медленным и поэтому за разумный промежуток времени трудно достигнуть заметной разности населенностей. Известный голландский физик Гортер, сделавший много предсказаний и открытий в области магнитной релаксации, первый пытался наблюдать магнитный резонанс в макроскопическом образце [1]. Его постигла неудача, по-видимому связанная с тем, что он выбрал вещество, обладающее большим значением , следовательно, легко насыщающееся.

Когда Пёрселл, Торри и Паунд [2] впервые наблюдали резонанс на протонах в парафине, они помещали ядра в магнитное поле Я о задолго до начала резонансного поглощения. При этом они применяли слабое переменное поле, чтобы избежать

насыщения и успеть наблюдать резонанс, хотя составляло несколько секунд. Их работа, а также работы Блоха, Хансена и Пакарда [3] были выполнены независимо от работы Гортера.

Как мы видели, скорость поглощения энергии связана со скоростью перехода Оценка величины резонансного поглощения играет основную роль при решении вопроса о том, может ли наблюдаться резонанс. Ниже мы увидим, как вычисляется Кроме того, поскольку резонансная линия всегда в той или иной мере размыта, важно рассмотреть прнчины, вызывающие ее уширение. Сюда же примыкает вопрос о том, какое значение магнитного поля нужно подставлять в соотношение поскольку около каждого ядра всегда находятся близкие соседи. В самом деле, благодаря присутствию электронов и соседних ядер всегда имеются магнитные поля, которые должны добавляться к внешнему полю. Эти поля вызывают очень интересные эффекты, например расщепление сигнала протонного резонанса в этиловом спирте на три линии с соотношением интенсивностей Они ответственны также за то, что ядерный резонанс в ферромагнетиках наблюдается даже при отсутствии внешнего постоянного магнитного поля.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)