12. Буквы в алгебре

Постепенно мы все больше и больше используем буквенные обозначения . По традиции использование буквенных обозначений («иксов») считается одной из наиболее трудных тем школьного курса математики. Раньше в начальной школе изучалась «арифметика», где никаких иксов не было, а в средней школе (с 5-го класса) переходили к «алгебре» — где уже были иксы. Потом «арифметику» переименовали в «математику» и ввели иксы в начальных классах — чем окончательно запутали бедных школьников (как утверждают скептики).

Мы надеемся, что у Вас, дорогой читатель, не было трудностей с пониманием смысла буквенных обозначений. Тем не менее мы хотим дать Вам совет — на случай, если придется объяснять это своим одноклассникам, брату или сестре, родителям или — в будущем — детям. Смысл букв проще всего объяснить, сказав, что буквы — это сокращения для некоторых слов. Поясним это.

В равенстве

буквы a и b были сокращениями для слов «первое слагаемое» и «второе слагаемое». Записывая а а, мы имеем в виду, что вместо а и b можно подставить любые числа и получить верное равенство. Таким образом, а а можно считать единой сокращенной записью равенств — так же как и бесчисленного множества других равенств того же вида.

Другой пример использования букв дает решение такой задачи:

Задача 37. Малый бидон и большой бидон вместе вмещают 5 литров; в двух малых бидонах и трех больших помещается всего 13 литров. Какова емкость бидонов?

Решение. («Арифметическое».) Емкость малого бидона и емкость большого бидона в сумме равны 5 литрам. Поэтому два малых бидона и два больших вмещают 10 литров Кроме того, мы знаем, что 2 малых и 3 больших бидона вмещают 13 литров. Таким образом, добавление одного лишнего большого бидона увеличивает суммарную емкость с 10 до 13 литров. Следовательно, емкость большого бидона равна литра. Зная емкость большого бидона, легко найти емкость малого, так как в сумме они дают 5 литров: Ответ: емкость малого бидона — 2 литра, емкость большого — 3 литра.

Это же решение можно записать короче, сократив слова «Емкость малого бидона» до «Емк. М. Б.», а «Емкость большого бидона» до «Емк. Б. Б.». Вот что получится: по условию,

поэтому

По условию,

Вычтя из этого равенства предыдущее, находим, что Емк. Б. Б. = 3, теперь из первого равенства находим, что Емк. М. Б. = 2.

Осталось заменить русские обозначения «Емк. М. Б.» и «Емк. Б. Б.» на традиционные х и у, чтобы получить стандартное «алгебраическое» решение задачи. Вот оно.

Обозначим емкость малого бидона через х, а емкость большого — через у. Получаем систему уравнений:

Умножая первое уравнение на 2, получаем, что

Вычитая это равенство из второго уравнения системы, находим, что

Теперь из первого уравнения

Ответ, х = 2, у = 3.

Еще один пример, иллюстрирующий использование буквенных обозначений.

«Фокус». Задумайте число. Прибавьте к нему 3. Умножьте результат на 2. Отнимите задуманное число. Отнимите 4. Отнимите еще раз задуманное число. У Вас получилось 2.

Задача 38. Объяснить, почему этот фокус всегда удается.

Решение. Давайте проследим по табл. 4, что происходит с задуманным числом (мы обозначаем его через х).

Таблица 4