63. Доказательства числовых неравенств
Все приводимые в этом разделе неравенства можно в принципе было бы доказать, вычислив левую и правую части. Однако это, как правило, не наилучший способ.
Задача 311. Доказать, что
Решение. Каждый из 100 членов суммы находится между 
. Если бы все они равнялись 
, то сумма равнялась бы 
; если бы все они равнялись то в сумме они дали бы 1.
Задача 312. Доказать, что
Решение. Левое неравенство получится, если сгруппировать
(первая скобка равна 1/2, а все следующие положительны). Правое получится, если записать
Замечание. На самом деле две предыдущие задачи говорят об одном и том же, так как
Задача 313. Убедитесь в этом.
Решение.
Задача 314. Доказать, что 
.
Первое решение.
Что получится, если раскрыть скобки? Один член будет равен 1 (произведение всех единиц). Еще будут члены, которые получатся, если в одной скобке взять 0,01, а во всех остальных — по единице. Таких членов будет 100, а каждый из них равен 0,01. Будут и другие члены (равные 0,012, 0,013 и т. п.), но уже эти в сумме дают
Второе решение.
Задача 315. Доказать, что
Решение.
Отсюда (складываем все неравенства)
Пары противоположных членов 
сокращаются, и остается 
что меньше 2.
Задача 316. Что больше: 
или 
Задача 317. Доказать, что
Доказать, что при некотором 
Указание. В выражении
каждая скобка не меньше 1/2 и не больше 1 (см. выше).
