23. Разность квадратов

Задача 69. Перемножить .

Решение, ( сокращаются). Получаем формулу «разности квадратов»:

Задача 70. Перемножить в уме 101 и 99.

Задача 71. Из квадрата со стороной а вырезан квадрат со стороной b (рис. 7). Разрезать получившуюся фигуру на части и сложить из них прямоугольник со сторонами .

Рис. 7

Приведенные нами формулы (квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов) называют формулами сокращенного умножения.

Задача 72. Два целых числа, одно из которых на 2 больше другого, перемножили и к произведению прибавили 1.

Доказать, что получился точный квадрат (квадрат целого числа). Например,

Первое решение. Обозначим меньшее число через . Тогда большее равно . Их произведение равно Прибавив 1, получим (формула квадрата суммы).

Второе решение. Обозначим большее число через . Тогда меньшее равно Произведение равно . Прибавив 1, получим (формула квадрата разности).

Третье решение. Если мы не хотим отдавать предпочтение большему или меньшему из чисел, обозначим через число между ними. Тогда меньшее число равно большее равно произведение равно (формула разности квадратов), т.е. на единицу меньше точного квадрата.

Задача 73. Напишем квадраты чисел

и под каждыми двумя числами напишем их разность:

В нижнем ряду каждое число больше предыдущего на 2. Почему?

Решение. Соседние числа имеют квадраты . Разница квадратов равна и при увеличении на 1 она увеличивается на 2.

Замечание. Последовательности чисел, в которых каждое следующее числю больше предыдущего на одну и ту же величину (как в 3,5,7,9,...), называют арифметическими прогрессиями. С ними мы еще встретимся.

Задача 74. Есть правило, позволяющее находить квадрат чисел, кончающихся на 5: «отбросьте последнюю цифру 5, останется число ; умножьте на и к полученному числу допишите справа 25». Например:

Обосновать это правило.

Задача 75. Вычислить

Рис. 8

Решение.

(см. рис. 8).

Задача 76. Вычислить

Указание. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи.

Задача 77. Вычислить .

Указание. Воспользуйтесь формулой разности квадратов.

Задача 78. Вычислить .

Указание. И здесь полезна формула разности квадратов.

Задача 79. Вычислить .

Указание. Даже здесь полезна формула разности квадратов.

Задача 80. Вычислить Первое решение. Это равно

Второе решение.