61. Корни

Квадратный корень из числа а — это число, квадрат которого равен а. (Поправка педанта: число а должно быть неотрицательно и квадратный корень — тоже.) Аналогично, кубический корень из числа это неотрицательное число для которого . Так же определяются и корни более высоких степеней. Корень степени из а обозначают

Определение. Корнем степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число для которого (Мы предполагаем, что — положительное целое число).

В связи с этим определением могут возникнуть некоторые вопросы.

Вопрос. А что, если таких чисел несколько?

Ответ. Это невозможно. Чем больше положительное число тем больше его степень (если в произведении положительных сомножителей увеличить все сомножители, то произведение увеличится). Поэтому два разных числа не могут иметь одинаковую степень.

Вопрос. А может быть, числа для которого вообще нет?

Ответ. Подобный вопрос уже возникал при обсуждении квадратных корней. Здесь ситуация совершенно аналогична.

Вопрос. Если четно, то число — также в степени равно а. Почему мы выбрали именно положительное из двух чисел?

Ответ. Так принято.

Вопрос. Если нечетно, то и при отрицательных а можно найти такое , что . Например, . Почему же мы не говорим, что кубический корень из —8 равен

Ответ. Можно было бы так и считать, но для простоты мы этот случай исключаем.

Задача 288. Что больше: или 1,2?

Задача 289. Вычислить с точностью до трех знаков после запятой.

Задача 290. Что больше: или

Задача 291. Что больше: или

Задача 292. Что больше: или

Задача 293. Что такое по нашему определению? Ответ. .

Теперь мы докажем некоторые свойства корней.

Задача 294. Доказать, что

Решение. Согласно определению, нужно доказать, что

По правилу

получаем (положив )

Задача 295. Доказать, что

Указание. Использовать равенство

предыдущую задачу.

Задача 296. Доказать, что

при

Задача 297. Доказать, что

при .

Решение.

Замечание. Аналогичное утверждение верно не только для трех чисел, но и для четырех, пяти и т. д.

Задача 298. Доказать, что

Решение.

Здесь использовано утверждение предыдущей задачи.

Задача 299. В решении задачи 298 рассмотрены не все возможности. Восполните пробел.

Решение. Мы предполагали, что . При и 1 утверждение задачи почти очевидно. Проверим его для отрицательных т. Пусть, например, Тогда

Задача 300. Доказать, что

для любых положительных целых типи для любого неотрицательного а.

Решение. Согласно определению, надо проверить, что

В самом деле,

Задача 301. Доказать, что

Задача 302. Доказать, что

( — положительное целое, ).