47. Случай p = 0. Квадратный корень

Начнем с уравнения

Тут есть три варианта

(а) q = 0: уравнение имеет единственное решение х = 0.

(б) q > 0: решений нет, так как неотрицательное число 2 в сумме с положительным числом q не дает 0.

(в) q < 0: уравнение перепишем в виде и надо искать числа, квадрат которых равен (положительному) числу -q.

Факт. Для любого положительного числа с существует положительное число, квадрат которого равен с.

Определение. Положительное число, квадрат которого равен с, называется квадратным корнем из с и обозначается (Кроме того, считают равным 0.)

Мы уже встречали в разложении на множители Теперь мы в тех же целях используем вместо

Как решить уравнение :

последнее уравнение имеет два решения и других решений нет.

Вы спросите: к чему все это? Если то по определению (и если х = -у/с — тоже). Да, это так. Но наше разложение на множители доказывает также, что других решений нет (в самом деле, если то оба сомножителя не равны нулю).

Существование квадратного корня из положительного числа с можно объяснить так. Посмотрим, как меняется если х возрастает, начав с нулевого значения. Чем больше х, тем больше поэтому также возрастает. Вначале было меньше с. Когда очень велико, то еще больше, поэтому при больших . Итак, было меньше с, а стало больше с. Следовательно, в какой-то момент оно должно было сравняться с числом с.

В предыдущей фразе слово «следовательно» заменяет несколько глав учебника высшей математики, где это обосновывается с помощью специальной «теоремы о промежуточных значениях».

Современному человеку привыкшему к калькулятору с клавишей , трудно представить себе, каким потрясением было появление квадратных корней для древних греков, которые первыми обнаружили, что квадратный корень из двух

не записывается в виде дроби, числитель и знаменатель которой — целые числа. (А никаких других способов записывать числа у них не было).

Задача 242. Докажите, что

при любых целых . (Как говорят, иррационален; рациональными числами называют дроби с целым числителем и знаменателем, иррациональными — числа, не представимые в виде таких дробей.)

Решение. Пусть Возможны три случая:

(а) нечетны;

(б) четно, нечетно;

(в) нечетно, четно.

(Четвертый случай — тип четны — можно не рассматривать, так как в этом случае можно сокращать на 2, пока мы не придем к одному из случаев (а) - (в).)

Четное число записывается в виде , где k — целое; нечетное число записывается в виде

Противоречие: (четное число) +1 = (четное число).

Противоречие: (четное число) = (четное число) +1.

Противоречие: (четное число) +1 = (четное число).

Итак, все три случая невозможны.

Задача 243. Доказать, что число иррационально.

У казание. Всякое целое число имеет вид или

Заявляя, что мы решили уравнение и получили ответ или мы, в сущности, хвастаемся понапрасну. На самом деле мы не решили его, введя обозначение , а расписались в своем неумении его решать — ведь и означает «положительное число, квадрат которого равен 2», т. е. «положительное решение уравнения