36. Остаток при делении на х - а

Существует способ найти остаток от деления произвольного многочлена на двучлен х — а (где а — любое число), не производя деления.

Пусть, например, нужно найти остаток от деления на двучлен . Прежде всего заметим, что остаток — это число (его степень должна быть меньше степени Чтобы найти это число, в равенство

подставим . Получим

т. е. остаток равен 24 — 16.

Вообще, пусть Р — любой многочлен, который мы хотим разделить на х — а (где а — некоторое число). Запишем

и подставим . Получаем такое правило:

Чтобы найти остаток от деления многочлена на двучлен х - а, надо подставить в этот многочлен число а вместо

Это правило называют «теоремой Везу». Она позволяет находить остаток (но не частное), не производя деления. Вот важное следствие теоремы Везу:

Чтобы узнать, делится ли данный многочлен на двучлен х — а без остатка, достаточно посмотреть, обращается ли он в нуль при подстановке а вместо х._

Число, при подстановке которого многочлен обращается в нуль, называют корнем многочлена. Таким образом, многочлен Р делится надело на в том и только в том случае, когда а — корень многочлена Р.

Задача 146. 1. При каких многочлен делится на без остатка? 2. При каких многочлен делится на без остатка?

Найдя корень многочлена, мы получаем возможность разложить его на множители, выделив множитель х — а (а — найденный корень). После этого можно пытаться разлагать этот многочлен дальше, применяя этот же прием к частному. Задача 147. Разложить на множители многочлены

Задача 148. Известно, что 1 и 2 — корни многочлена Р. Доказать, что Р делится без остатка на

Решение. Поскольку 1 является корнем Р, то Р делится нацело на (х - 1), то есть . Подставив в это равенство видим, что 2 является корнем Q, то есть Q делится на . Тогда .

Замечание. Типичное неверное решение таково: Р делится на (так как 1 — корень) и на (так как 2 — корень), следовательно, Р делится на Ошибка: «следовательно» здесь не обосновано. Например, 12 делится на 6 и на 4, но мы не можем сказать: «следовательно, 12 делится на

Аналогичным образом можно доказать, что

Задача 149. Какое наибольшее число корней может иметь многочлен степени 5?

Решение. 5 корней. Например, многочлен

имеет корни 1,2,3,4,5. Больше 5 корней быть не может. В самом деле, если бы многочлен Р степени 5 имел 6 корней , то он должен был бы делиться на

т. е.

что невозможно, так как степень правой части не меньше 6.

Вообще многочлен степени не может иметь больше различных корней.

Замечание. Мы использовали здесь выражение «различные корни», так как слова «число корней» могут пониматься по-разному. Например, сколько корней у многочлена ? Он тождественно равен многочлену , так что х = 1 является его корнем, а любое число, не равное 1 — не является. Таким образом, мы можем сказать, что этот многочлен имеет в точности один корень. С другой стороны, общая формула для многочлена с двумя корнями a и b есть

и наш многочлен

является специальным случаем этой формулы для , так что математики часто говорят, что этот многочлен имеет «два равных корня». Мы не будем пользоваться

этой терминологией, но Вы можете встретить ее, например, в формулировке так называемой «основной теоремы алгебры», гласящей, что «любой многочлен степени имеет в точности комплексных корней».

Задача 150. Как проверить, делится ли данный многочлен Р на ?

Ответ. Надо выяснить, являются ли числа корнями многочлена Р.

Задача 151. При каких многочлен делится на

В заключение этого раздела вернемся к тождеству

которое мы обсуждали на стр. 79 (мы перенесли 1 в левую часть). Пусть — различные числа. Рассмотрим левую часть тождества как многочлен от х. Степень этого многочлена не выше 2. Поэтому он может иметь не более двух корней (если только не равен 0 тождественно). Но числа о, b и с являются его корнями. Значит, он тождественно равен нулю!

Дотошный читатель в этом месте укажет, что мы смешиваем равенство рациональных выражений при всех числовых значениях букв (даже не при всех, строго говоря: если , то левая часть не имеет смысла) и возможность преобразовать одно выражение в другое по правилам алгебры. Критика справедливая, и ответить на неё не так просто — мы этого делать не будем.

Задача 152. Остаток от деления многочлена Р (от одной переменной х) на многочлен является многочленом степени не выше 1, т. е. имеет вид . Как найти a и b, зная значения Р в точках ?

Указание. Подставить в равенство

числа

Задача 153. При делении на многочлен Р дает остаток 5х — 7. Каков будет остаток при делении Р на ?

Задача 154. Многочлен имеет три корня (авторы за это ручаются). Напишите многочлен с целыми коэффициентами, который бы имел три корня:

Задача 155. Найти числа а и b, если известно, что многочлен делится без остатка на .