14. Умножение отрицательных чисел

Чтобы подсчитать, чему равно трижды пять, надо сложить три слагаемых, каждое из которых равно пяти:

Таблица 5

Таблица 6

С некоторой натяжкой то же объяснение годится и для произведения 1-5, если считать, что «сумма» из одного-единственного

слагаемого равна этому слагаемому. Но произведение 0 • 5 или (-3) • 5 так не объяснишь: что означает сумма из нуля или из минус трех слагаемых?

Можно, однако, переставить сомножители

Если мы хотим, чтобы произведение не изменялось при перестановке сомножителей — как это было для положительных чисел — то тем самым должны считать, что

Теперь перейдем к произведению (-3) • (-5). Чему оно равно: —15 или +15? Оба варианта имеют резон. С одной стороны, минус в одном сомножителе уже делает произведение отрицательным — тем более оно должно быть отрицательным, если отрицательны оба сомножителя. С другой стороны, в табл. 7 уже есть два минуса, но только один плюс, и «по справедливости» (-3)-(-5) должно быть равно +15. Так что же предпочесть?

Таблица 7

Вас, конечно, такими разговорами не запутаешь: из школьного курса математики Вы твердо усвоили, что минус на минус дает плюс. Но представьте себе, что Ваш младший брат или сестра спрашивает Вас: а почему? Что это — каприз учительницы, указание высшего начальства или теорема, которую можно доказать?

Обычно правило умножения отрицательных чисел поясняют на примерах вроде представленного в табл. 8.

Таблица 8

Можно объяснять и иначе. Напишем подряд числа

Теперь напишем те же числа, умноженные на 3:

Легко заметить, что каждое число больше предыдущего на 3. Теперь напишем те же числа в обратном порядке (начав, например, с 5 и 15):

и продолжим дальше:

При этом под числом —5 оказалось число —15, так что 3 • (-5) = -15: плюс на минус дает минус.

Теперь повторим ту же процедуру, умножая числа 1,2,3,4,5 ... на —3 (мы уже знаем, что плюс на минус дает минус):

Каждое следующее число нижнего ряда меньше предыдущего на 3. Запишем числа в обратном порядке

и продолжим:

Под числом —5 оказалось 15, так что (-3) • (-5) = 15.

Возможно, эти объяснения и удовлетворили бы Вашего младшего брата или сестру. Но Вы вправе спросить, как же обстоят дела на самом деле и можно ли доказать, что (-3) • (-5) = 15?

Ответ здесь таков: можно доказать, что (-3) • (-5) должно равняться 15, если только мы хотим, чтобы обычные свойства сложения, вычитания и умножения оставались верными для всех чисел, включая отрицательные. Схема этого доказательства такова.

Докажем сначала, что 3 • (-5) = -15. Что такое —15? Это число, противоположное 15, т. е. число, которое в сумме с 15 дает 0. Так что нам надо доказать, что

В самом деле,

(Вынося 3 за скобку, мы воспользовались законом дистрибутивности ab + ас = а(b + с) при — ведь мы предполагаем, что он остается верным для всех чисел, включая отрицательные.) Итак, (Дотошный читатель спросит нас, почему . Честно признаемся: доказательство этого факта — как и вообще обсуждение того, что такое ноль — мы пропускаем.)

Докажем теперь, что (-3) • (-5) = 15. Для этого запишем

и умножим обе части равенства на —5:

Раскроем скобки в левой части:

т. е. (-3) • (-5) + (-15) = 0. Таким образом, число противоположно числу —15, т. е. равно 15. (В таком рассуждении также есть пробелы: следовало бы доказать, что и что существует только одно число, противоположное числу —15.)