Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 14. Умножение отрицательных чиселЧтобы подсчитать, чему равно трижды пять, надо сложить три слагаемых, каждое из которых равно пяти:
Таблица 5
Таблица 6
С некоторой натяжкой то же объяснение годится и для произведения 1-5, если считать, что «сумма» из одного-единственного слагаемого равна этому слагаемому. Но произведение 0 • 5 или (-3) • 5 так не объяснишь: что означает сумма из нуля или из минус трех слагаемых? Можно, однако, переставить сомножители
Если мы хотим, чтобы произведение не изменялось при перестановке сомножителей — как это было для положительных чисел — то тем самым должны считать, что
Теперь перейдем к произведению (-3) • (-5). Чему оно равно: —15 или +15? Оба варианта имеют резон. С одной стороны, минус в одном сомножителе уже делает произведение отрицательным — тем более оно должно быть отрицательным, если отрицательны оба сомножителя. С другой стороны, в табл. 7 уже есть два минуса, но только один плюс, и «по справедливости» (-3)-(-5) должно быть равно +15. Так что же предпочесть? Таблица 7
Вас, конечно, такими разговорами не запутаешь: из школьного курса математики Вы твердо усвоили, что минус на минус дает плюс. Но представьте себе, что Ваш младший брат или сестра спрашивает Вас: а почему? Что это — каприз учительницы, указание высшего начальства или теорема, которую можно доказать? Обычно правило умножения отрицательных чисел поясняют на примерах вроде представленного в табл. 8. Таблица 8
Можно объяснять и иначе. Напишем подряд числа
Теперь напишем те же числа, умноженные на 3:
Легко заметить, что каждое число больше предыдущего на 3. Теперь напишем те же числа в обратном порядке (начав, например, с 5 и 15):
и продолжим дальше:
При этом под числом —5 оказалось число —15, так что 3 • (-5) = -15: плюс на минус дает минус. Теперь повторим ту же процедуру, умножая числа 1,2,3,4,5 ... на —3 (мы уже знаем, что плюс на минус дает минус):
Каждое следующее число нижнего ряда меньше предыдущего на 3. Запишем числа в обратном порядке
и продолжим:
Под числом —5 оказалось 15, так что (-3) • (-5) = 15. Возможно, эти объяснения и удовлетворили бы Вашего младшего брата или сестру. Но Вы вправе спросить, как же обстоят дела на самом деле и можно ли доказать, что (-3) • (-5) = 15? Ответ здесь таков: можно доказать, что (-3) • (-5) должно равняться 15, если только мы хотим, чтобы обычные свойства сложения, вычитания и умножения оставались верными для всех чисел, включая отрицательные. Схема этого доказательства такова. Докажем сначала, что 3 • (-5) = -15. Что такое —15? Это число, противоположное 15, т. е. число, которое в сумме с 15 дает 0. Так что нам надо доказать, что
В самом деле,
(Вынося 3 за скобку, мы воспользовались законом дистрибутивности ab + ас = а(b + с) при Докажем теперь, что (-3) • (-5) = 15. Для этого запишем
и умножим обе части равенства на —5:
Раскроем скобки в левой части:
т. е. (-3) • (-5) + (-15) = 0. Таким образом, число
|
1 |
Оглавление
|