15. Действия с дробями

Бели Вас попросят сравнить дроби

то, конечно, Вы сразу скажете, что они равны:

Графически это равенство изображено на рис. 4.

Рис. 4

А что Вы скажете о дробях

Если бы Вы помнили наизусть таблицу умножения двузначных чисел, то сразу бы сказали, что они равны:

Но как быть, если мы не помним этой таблицы? Тогда надо привести дроби к общему знаменателю:

и сравнить числители

Так мы убедимся, что дроби равны — но так и не узнаем, что на самом деле обе они равны 13/23!

Задача 39. Что больше: 1/3 или 2/7?

Решение. 1/3 = 7/21, 2/7 = 6/21, т.е. 1/3 > 2/7.

Бытовая формулировка этой задачи («Что больше: бутылка на троих или две на семерых?») подсказывает другое решение: бутылка на троих — это две бутылки на шестерых, а не на семерых, т.е. 1/3 больше 2/7. Говоря научно, мы «привели дроби к одинаковому числителю»:

Задача 40. Что больше: или

Указание. Обе дроби меньше 1. На сколько?

Задача 41. Что больше: или

Рис. 5

Приведение к общему знаменателю — традиционная проблема при изучении арифметики. Классический вопрос: «Сколько торта останется мне, если брат съест половину торта, а сестра — треть торта?» Ответ (одна шестая) виден на рис. 5.

Мы уверены, что никто из наших читателей не складывает дроби, складывая отдельно числители и знаменатели:

Вместо суммы эта операция дает нечто среднее: 7/10 = 0,7 находится между 2/3 = 0,666 ... и 5/7 = 0,714285....

Это легко понять: если в одной компании было две бутылки на троих (по 2/3 на человека), а в другой компании было пять бутылок на семерых (по 5/7 на человека), то после встречи все выровняется, и будет семь бутылок на десятерых (7/10 на человека).

Задача 42. Назовем дроби — целые положительные числа) соседними, если их разность имеет числитель ±1, т. е. если

1. Доказать, что в этом случае обе дроби несократимы.

2. Доказать, что если — и — соседние, то дробь находится между ними и является соседней с обеими дробями

3. Доказать, что в этом случае никакая дробь с натуральными , у которой не находится между

Задача 43. Метровый стержень разделили на 7 равных частей красными пометками и на 13 равных частей синими пометками. Затем его распилили на 20 равных частей. Докажите, что на всех этих частях (кроме крайних) будет ровно одна пометка — синяя или красная).

Решение. На крайних частях пометок не будет, так как — меньше, чем Остается 18 частей. Достаточно доказать, что на каждой из них будет не более одной пометки. (Всего пометок также 18, поэтому ни одна часть не останется без пометки.) Красная пометка соответствует

числу синяя — числу дробь

находится между ними. Следовательно, в ней будет проведен разрез, разделяющий по разным частям.

Задача 44. Что больше: пять процентов от семи миллионов или семь процентов от пяти миллионов? [«Вопрос мой прост и краток, — промолвил носорог, — Что больше: сорок пяток или пяток сорок?» — А. Милн. Винни-Пух и все-все-все. Пересказ Б. Заходера]

Задача 45. Как отрезать от шнура в кусок в не имея метра?

Решение. Кусок в составляет три четверти от всего шнура:

так что от шнура надо отрезать четверть (два раза сложив его пополам).