41. Сумма геометрической прогрессии

Задача 201. Вычислить сумму (каждый член вдвое больше предыдущего).

Первое решение. Добавим 1:

Ответ.

Второе решение. Обозначим сумму через S:

Тогда

В последней сумме (по сравнению с предыдущей) есть лишний член 2048 и недостает 1. Отсюда имеем:

Задача 202. Вычислить суммы

Задача 203. Первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель равен q. Найти сумму ее первых членов.

Первое решение. Искомая сумма равна Вспомнив разложение на множители

находим, что

Отсюда получаем, что искомая сумма равна

Второе решение. Обозначим искомую сумму через S:

Умножим ее на

Появился член , а член а пропал, так что

Задача 204. В решении и ответе к предыдущей задаче есть неточность. Что это за неточность?

Решение. При ответ не имеет смысла: выражение

не определено. В этом случае все члены прогрессии равны а и сумма равна . Так что можно было бы сказать, что

(Это шутка, но в ней есть и доля правды; вспомните о ней, когда будете изучать дифференцирование функции в курсе математического анализа!)