29. Сколько одночленов останется?

Задача 96. Какое максимальное количество одночленов может быть в произведении двух многочленов, каждый из которых содержит 4 одночлена?

Замечание. Ко всякому многочлену можно добавить фиктивные одночлены с коэффициентом 0:

Такие одночлены мы не учитываем.

Решение. Перемножим многочлены

Всего 16 членов. Ясно, что больше 16 быть не может (каждый из четырех одночленов первого многочлена умножается на четыре одночлена второго).

Задача 97. Может ли произведение двух многочленов, каждый из которых содержит 4 одночлена, состоять меньше чем из 16 одночленов?

Решение. Да: среди 16 одночленов могут оказаться подобные. Например,

и из 16 членов после приведения подобных остается всего 7.

Задача 98. Может ли при перемножении двух ненулевых многочленов получиться так, что вообще все члены сократятся друг с другом?

Ответ. Нет.

Замечание. Вероятно, эта задача кажется Вам бессмысленной, ведь и так ясно, что такого быть не может. В этом случае советуем вернуться к ней позднее.

Задача 99. Может ли при перемножении двух многочленов и последующем приведении подобных остаться единственный одночлен? (Случай, когда каждый из многочленов состоял из одного одночлена, нас не интересует.)

Задача 100. Может ли при перемножении двух многочленов получиться многочлен, в котором меньше одночленов, чем в каждом из сомножителей?

Решение. Да: