17. Отрицательные степени

Мы выписывали степени числа 2:

Попробуем, начиная с какого-либо числа (например, 128), записать эту последовательность в обратном порядке:

В первой последовательности каждое число было вдвое больше предыдущего, теперь — вдвое меньше. Продолжим эту последовательность:

У последовательности

было удобное краткое обозначение:

В обратном порядке:

Продолжая по аналогии, можно написать:

Эти обозначения широко используются. Таким образом,

Раньше, говоря о степенях, мы понимали как «2, повторенное сомножителем 3 раза», как «2, повторенное сомножителем 5 раз». Если еще можно, с некоторой натяжкой, сказать, что есть двойка, повторенная сомножителем один раз, то про или такое объяснение было бы смешным. Просто математики договорились считать, что (при положительных целых ) понимается как

Мы надеемся, что это соглашение не показалось Вам искусственным. Впоследствии мы увидим, насколько оно удобно и даже — в определенном смысле — неизбежно.

Задача 50. Запишите в виде десятичных дробей числа

В табл. 10 приведено несколько «малых» чисел.

Деление чисел на большие и малые, как мы уже говорили, условно. При желании можно было бы включить в эту таблицу величины из предыдущей: например, радиус Земли астрономических единиц.

Задача 51. За какое время красный свет проходит расстояние, равное длине волны? (Это время называют периодом колебаний.)

Итак, запомните:

Определение. Для целых положительных

Задача 52. Верно ли равенство для отрицательных и для

Можно ли доказать, что Нельзя, поскольку запись сама по себе, до принятия нашего соглашения (или, как говорят математики, определения) смысла не имеет. Если вдруг все математики мира почему-либо договорятся понимать как-то иначе, то с этого момента равенство перестанет быть верным. Однако этого не произойдет — зачем менять привычное и удобное соглашение?! Нарушив его, мы чрезвычайно все усложним (см. следующий раздел).

С помощью обозначений для степеней длинное выражение

Таблица 10

можно записать короче — как , а

как

Задача 53. Записать с использованием показателей степени

Ответ, .

Задача 54. Переписать, используя лишь положительные показатели степеней:

Ответ,