28. Отступление: какие многочлены считать равными?

Понятие «равны» для многочленов может определяться по-разному. Первый вариант: многочлены считаются равными,

если один из них может быть преобразован в другой по правилам алгебры (раскрытием скобок, приведением подобных, вынесением за скобку и т.п.). Второй вариант: многочлены считаются равными, если при подстановке любых чисел вместо букв они принимают одно и то же числовое значение. Оказывается, что эти два варианта эквивалентны: многочлены, равные в одном смысле, равны и во втором. В самом деле, если один многочлен преобразуется в другой по правилам алгебры, то эти преобразования сохраняют силу и после подстановки чисел вместо букв. Обратное утверждение («если два многочлена принимают одинаковые значения при подстановке любых чисел вместо букв, то один из них может быть преобразован в другой») доказать не так просто, и мы примем его на веру без доказательства.

Если мы хотим убедить кого-то, что два многочлена равны, удобен первый вариант определения: достаточно показать, как один многочлен преобразуется в другой. Напротив, если мы хотим убедить кого-то, что многочлены не равны, удобней второй вариант: достаточно указать числовые значения букв, при которых многочлены принимают различные числовые значения.

Задача 93. Не раскрывая скобок, убедиться, что

Решение. При подстановке х = 1 левая часть обращается в нуль, а правая нет.

Задача 94. В верном равенстве многочленов

два числа стерли, заменив точками. Что это были за числа?

Указание. Подставить x = -1 и x = -3.

Пусть теперь нам даны два многочлена, про которые неизвестно заранее, равны они или нет. Как это узнать? Можно подставить на пробу какие-то числа, и сделать несколько проб. Если хоть раз получатся разные результаты, то многочлены не равны. Если же нет, то есть основания подозревать, что они равны.

Задача 95. Ваня подставил в многочлены числа вместо х и утверждает, что эти многочлены равны. Прав ли он?

Решение. Нет: достаточно подставить

Так что подозрения — не доказательство (хотя впоследствии мы увидим, что иногда конечного числа проверок бывает достаточно).

Чтобы проверить, равны ли два многочлена, их можно привести к стандартному виду. Если после этого они отличаются лишь порядком одночленов или порядком сомножителей в одночленах, то они, очевидно, равны. Если же нет, то можно доказать, но мы примем это на веру — многочлены не равны.

Иногда равные многочлены называют «тождественно равными», подчеркивая, что имеется в виду равенство для всех числовых значений букв. Так, например, многочлен тождественно равен многочлену .