39. Сумма арифметической прогрессии

Задача 186. Найти сумму

Решение. Прежде всего найдем число членов (см.выше). Член с номером равен . Он равен 999 при n = 500. Поэтому в прогрессии 500 членов. Сгруппируем их в 250 пар

Каждая пара в сумме дает 1000.

Ответ. 250000.

Задача 187. Первый член прогрессии из членов равен а, последний равен b. Найти сумму ее членов.

Решение. Соединив члены в пары, как в предыдущей задаче, получим пар, сумма каждой равна

Ответ.

Задача 188. Решение предыдущей задачи содержит пробел. Найти и исправить его.

Решение. Все сказанное в нем относится к случаю четного п. Если нечетно, то остается непарный (средний) член в прогрессии. Чтобы не рассматривать случаи четного и нечетного отдельно, можно применить трюк, который мы покажем на примере суммы

Напишем ее в обратном порядке:

и сложим эти равенства

В каждом столбце стоят 2 числа, в сумме дающие 14:

Поэтому

В общем случае будет столбцов с одинаковой суммой, равной сумме первого и последнего членов, т. е. . Поэтому

Рис. 9

Рис. 10

Это рассуждение можно пояснить картинкой. Сумму можно изобразить так, как это показано на рис. 9. и из двух таких фигурок составить прямоугольник 5 х 14 (см. рис. 10).

Задана 189. Докажите, что сумма первых нечетных чисел есть полный квадрат:

Рис. 11

Указание. Можно использовать предыдущую задачу или рис. 11.