40. Геометрические прогрессии

В последовательности

каждый член больше предыдущего в 2 раза. В последовательности

каждый член меньше предыдущего в 3 раза. Такие последовательности называют геометрическими прогрессиями.

Определение. Последовательность, в которой каждый член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называется геометрической прогрессией, а это число — знаменателем прогрессии.

Задача 190. Каковы знаменатели прогрессий в приведенных выше примерах?

Ответ. 2 и 1/3.

Задача 191. Найти третий член геометрической прогрессии

Ответ. 9/2.

Задача 192. Найти 1000-й член прогрессии 3,6,12,...

Решение.

Задача 193. Чему равен член прогрессии, первый член которой равен а, а знаменатель равен

Решение.

Задана 194. Первый член геометрической прогрессии равен 1, а третий член равен 4. Чему равен второй член? (Указать все варианты.)

Ответ. Второй член может быть равен не только 2, но и -2.

Задача 195. За 30 минут бактерия заполняет банку, делясь на две каждую минуту. За сколько минут заполнят банку 2 бактерии?

Будет ли последовательность

геометрической прогрессией согласно нашему определению? Формально говоря, да: каждый следующий член получается из предыдущего умножением на нуль, а мы не запретили знаменателю быть равным нулю. Хотя такая прогрессия и может показаться странной, мы не будем ее запрещать (зато иногда придется оговаривать, что знаменатель не равен 0).

Задача 196. Геометрическую прогрессию со знаменателем написали задом наперед. Каков знаменатель у получившейся прогрессии?

Ответ. 1/q.

Задача 197. Из геометрической прогрессии со знаменателем q вычеркнули каждый второй член. Получится ли геометрическая прогрессия? Каков будет ее знаменатель?

Задача 198. Тот же вопрос, если вычеркнули каждый третий член.

Задача 199. Первый член геометрической прогрессии равен а, а третий член равен b. Чему равен второй член?

Решение. Бели он равен , то знаменатель равен и одновременно . Отсюда умножая на имеем

. Поэтому если задача не имеет решения (такой прогрессии не бывает); если , то если , то ниже раздел о квадратных уравнениях).

Замечание. Наше решение неприменимо, если или Но наша формула оказывается более удачной, чем можно было бы ожидать — она верна всегда. Если, например, наша формула дает правильный ответ:

41. Сумма геометрической прогрессии

Задача 200. Первый член геометрической прогрессии равен 1, а 4-й равен Чему равны ее 2-й и 3-й члены?

Указание. См. ниже раздел о корнях степени.

Ответ,