55. График квадратного трехчлена

График выглядит так (см. рис. 17).

Рис. 17

Рис. 18

Зная его, можно построить и другие.

График (где а — постоянное число) получается из растяжением (если или сжатием (если вдоль вертикальной оси: чем больше а, тем больше он вытянут (см. рис. 18). При график к тому же и перевернут (см. рис. 19).

Рис. 19

Рис. 20

График с (рис. 20) получается из сдвигом на с (вверх, если вниз, если Аналогичным образом с получается из

Сложнее понять, что соответствует сдвигу графика влево-вправо. Для примера рассмотрим график и сравним его с графиком (см. рис. 21). Положим При этом выражение равно , т.е. имеет то же значение, что при . Вообще значение выражения совпадает со значением выражения но при увеличенном на единицу значении

Рис. 21

На графике это выглядит так: точки графика переходят в точки графика при сдвиге вправо на 1. Таким образом, график получится, если график сдвинуть вправо на 1. Другими словами, график получится, если график сдвинуть влево на 1.

Вообще, график получается из графика сдвигом влево на единиц (если ; при будет сдвиг вправо).

Теперь мы видим, что любой график вида

можно получить из графика в три приема:

(а) растянуть по вертикали в а раз — получится

(б) сдвинуть на влево — получится

(в) сдвинуть на вверх — получится .

Задача 274. Где находится вершина (нижняя или верхняя точка) графика

Ответ. В точке с координатами .

Задача 275. Важен ли порядок операций (а), (б) и Получим ли мы тот же самый график, если к исходному графику применить эти же операции, но, например, в обратном порядке (сначала (в), потом (б), потом

Ответ. Порядок операций важен. Мы получим после (в), затем после (б) и, наконец, после (а). Так что получится вместо .

Задача 276. Операции (а), (б) и (в) можно упорядочить шестью способами. Получим ли мы при этом шесть различных графиков, или некоторые из графиков совпадут?

Так можно построить график любого квадратного трехчлена, так как любой трехчлен может быть записан как

с помощью выделения полного квадрата

Обозначив , получаем требуемое.

Задача 277. Как узнать знаки чисел а, b и с, глядя на график трехчлена

Ответ. При «рожки» направлены вверх, при — вниз (рис. 22).

Рис. 22

Знак определяется положением вершины графика (слева или справа от нуля). Тем самым можно определить знак b, так как знак а уже известен. Знак с можно найти, посмотрев на место пересечения графика с осью ординат (так как равно с при

Замечание. Другой способ определения знака b: если в точке пересечения с осью ординат график идет вправо-вверх, то b положительно; если же в этой точке график идет вправо-вниз, то b отрицательно. Это правило может быть объяснено средствами математического анализа: если функция с возрастает при

значениях близких к 0, то ее производная (равная b при положительна.