66. Задачи на максимум и минимум

Задача 325. 1. Каково максимально возможное значение произведения двух неотрицательных чисел, сумма которых равна с? 2. Каково минимально возможное его значение?

Решение. 1. Среднее арифметическое их равно , так что их среднее геометрическое не превосходит , а его квадрат (т. е. произведение чисел) не превосходит — это максимально возможное значение достигается, когда числа равны.

2. Минимально возможное значение равно 0. Так будет, если одно из чисел равно 0, а другое равно с.

Задача 326. Каковы максимально и минимально возможные значения суммы двух неотрицательных чисел, произведение которых равно с > 0?

Решение. Среднее геометрическое этих чисел равно поэтому их полусумма не меньше а сумма не меньше (Это значение достигается, если числа равны.) Максимального значения не существует — сумма может быть сколь угодно велика, если одно число близко к нулю, а другое велико.

Замечание. Как Вы помните, мы уже встречали две последние задачи, когда говорили о минимальном и максимальном значениях квадратичного многочлена.

Задача 327. Какова максимальная площадь прямоугольного участка, если длина забора 120 м?

Задача 328. Какова максимальная площадь прямоугольного участка пляжа, изображенного на рис. 26, если длина забора 120 м? (От моря пляж не отгорожен!)

Решение. Мысленно возведем симметричный забор в море (см. рис. 27). Периметр полученного прямоугольника будет 240, а площадь его будет максимальной, когда это квадрат со стороной 60, и равна 36002. Реальная площадь на берегу вдвое меньше и равна 18002, когда забор состоит из кусков длиной 30, 60 и 30.

Рис. 26

Рис. 27

Задача 329. Каково максимально возможное значение произведения ab, если a и b — неотрицательные числа, для которых а + 2b = 3?

Решение. Произведение чисел a и b максимально, когда максимально произведение чисел а и 2b — а оно максимально, когда эти числа равны, т.е. Итак, максимальное значение произведения равно