4. Сложение столбиком

Чтобы узнать, сколько будет 7+9, можно нарисовать 7 яблок, рядом 9 яблок (рис. 3) и сосчитать, сколько всего яблок: одно, два, три, четыре, ... пятнадцать, шестнадцать. Получим: 7 + 9 = 16. Таким способом можно складывать любые числа. Но чтобы сложить, к примеру, 137 и 268 таким способом, понадобится изрядное терпение. И математики изобрели другие способы. Один из них — сложение столбиком.

Рис. 3

В разное время и в разных странах люди записывали числа по-разному, и об этом написаны целые книги. Мы так привыкли с детства к записи чисел в десятичной системе с

помощью цифр 0,1,2,8,9, что с трудом можем представить себе, насколько ее изобретение облегчило вычисления. Даже сама возможность записывать сколь угодно большие числа — и при том достаточно коротко — для древних была вовсе не очевидной. Великий древнегреческий математик Архимед написал книгу «Псаммит, или исчисление песка» о том, что можно записать число, большее числа песчинок, заполняющих целиком сферу с радиусом, равным расстоянию от Земли до неподвижных звезд.

Сейчас десятичная система вне конкуренции, если не считать двоичной системы, которая распространена не среди людей, а среди компьютеров. В двоичной системе всего две цифры (0 и 1), числа записываются длиннее. Компьютеру это не страшно — лишь бы правила арифметических действий были простыми.

О двоичной системе мы еще поговорим, а пока вернемся к сложению чисел, записанных в десятичной системе. Их складывают «в столбик». Мы не будем объяснять Вам, как это делается — это Вы знаете сами. Попробуйте решить такую задачу.

Задача 1. В строку написано несколько восьмерок. Кое-где между ними вставлены знаки «+», причем полученная сумма равна 1000. Как так может быть? Привести пример с минимальным возможным числом слагаемых. (Например, расстановка 88 + 88 + 8 + 8 + 88 не подходит, так как получается не 1000, а всего лишь 280.)

Решение. Запишем сложение в столбик

Мы не знаем, сколько слагаемых и сколько восьмерок в каждом слагаемом. Известно, однако, что каждое слагаемое кончается на 8 и что в разряде единиц суммы стоит 0. Чтобы восьмерки дали нуль, нужно как минимум 5 слагаемых

При этом в уме остается 4, так как 8+8+8+8+8 = 40. Чтобы в разряде десятков получить 0, к этой четверке нужно добавить две восьмерки:

В уме остается 2, так что в разряде сотен нужна одна восьмерка

Ответ: 8 + 8 + 8 + 88 + 888 = 1000.

Задача 2. Какие цифры обозначены буквами А, Б и В в примере на сложение столбиком

(все буквы А обозначают одну и ту же цифру, буквы Б — другую, буквы В — третью)?

Решение. Цифра А равна единице — только единица может появиться при переносе из разряда сотен в разряд тысяч. Чтобы определить цифру Б, зададим себе такой вопрос: происходит ли перенос из разряда единиц в разряд десятков (при сложении А с Б)? Если бы он не происходил, то в разрядах единиц, десятков и сотен у суммы стояла бы одна и та же цифра — а это не так. Значит, перенос происходит. Поскольку А = 1, это возможно лишь в случае Б = 9. Получаем ответ: А = 1, Б = 1, В = 0.