42. Разные задачи о прогрессиях

Задача 205. Могут ли числа 1/2,1/3,1/5 быть членами (не обязательно соседними) одной арифметической прогрессии?

Указание. Могут; в одном из вариантов ее разность равна 1/30.

Задача 206. Могут ли числа 2,3,5 быть членами (не обязательно соседними) одной геометрической прогрессии?

Решение. Докажем, что не могут. Предположим, что знаменатель этой прогрессии равен q. Тогда

для некоторых тип. Тогда

Отсюда

или

откуда . Слева стоит нечетное число, а справа — четное, если только . Значит . Но это тоже невозможно, так как в этом случае было бы

Полученное противоречие показывает, что требования несовместимы. Следовательно, 2, 3 и 5 не могут быть членами одной и той же геометрической прогрессии.

Задача 207. В решении предыдущей задачи мы предполагали, что в прогрессии число 3 стоит после 2, а число 5 стоит после 3 (считая положительными числа ). А что будет в других случаях?

Задача 208. Могут ли первые 2 числа в арифметической прогрессии быть целыми, а все следующие числа — не целыми?

Решение. Не могут: если два соседних члена целые, то разность прогрессии — целое число, и потому все прочие члены — целые.

Задача 209. Могут ли первые 10 чисел в геометрической прогрессии быть целыми, а все остальные — не целыми?

Решение. Могут:

Задача 210. Может ли второй член арифметической прогрессии быть меньше первого и третьего?

Решение. Нет: в этом случае разность прогрессии была бы одновременно положительным и отрицательным числом.

Задача 211. Тот же вопрос для геометрической прогрессии.

Решение. Да: 1,-1,1.

Задача 212. Может ли в бесконечной арифметической прогрессии первый член быть целым, а все следующие — не целыми?

Указание. Рассмотреть прогрессию с разностью и использовать иррациональность (см. ниже).

Задача 213. Может ли бесконечная арифметическая прогрессия содержать в точности 2 целых члена?

Ответ. Нет.

Задача 214. В последовательности

каждый член получается из предыдущего умножением на 2 и прибавлением 1. Чему равен 1000-й член последовательности? Ответ. .

Задача 215. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, в которой каждый член равен сумме двух предыдущих.

Указание. См. раздел о квадратных уравнениях. Ответ.

Задача 216. Последовательность Фибоначчи

определяется так: два первых члена равны 1, а каждый следующий есть сумма двух предыдущих. Подберите такие числа А и В, чтобы член последовательности Фибоначчи равнялся