26. (a+b)^5, (a+b)^6 и треугольник Паскаля

В формуле для ожидаются члены

и коэффициенты

Чтобы узнать два средних коэффициента — надо полагать, они будут одинаковыми — поступим как обычно:

Итак, наша таблица коэффициентов пополнилась еще одним рядом:

Быть может, Вы уже заметили закономерность: в следующей строке коэффициент получается сложением двух коэффициентов предыдущей — стоящего над ним и стоящего слева вверху:

Причина этого станет ясной, если в нашем вычислении оставить только коэффициенты:

Для красоты таблицу коэффициентов можно записать симметрично и еще дописать сверху 1, так как Получается треугольник

который можно продолжать вниз по правилу: каждое число равно сумме двух чисел над ник (кроме крайних, которые равны 1). Например, следующий ряд будет

и это дает формулу

Построенный нами треугольник называется треугольником Паскаля (Блез Паскаль [1623-1662] — французский математик и философ).

Задача 84. Чему равно

Задача 85. Напишите формулу для

Задача 86. Напишите формулы для

Задача 87. Сложите числа в каждой из строк треугольника Паскаля: не замечаете ли Вы закономерности?

Задача 88. Что дают формулы при

Задача 89. Нет ли связи между двумя предыдущими задачами?

Задача 90. Что дают формулы при