37. Многочлены, значения, интерполяция

Пусть Р — многочлен, содержащий только одну переменную (букву) Чтобы подчеркнуть это, будем обозначать его (читается ). Подставим вместо какое-либо число, например, , и выполним все вычисления. Полученное число называют значением многочлена для и обозначают (читается «Р от 6»).

Например, если то Другие значения: и т. д.

Задача 156. Составить таблицу значений многочлена

Задача 157. Выпишем значения многочлена

Под каждыми двумя соседними числами напишем их разность:

и с полученной последовательностью «первых разностей» сделаем то же самое:

Получаются двойки. Докажите, что это не случайно, и что все следующие члены в третьей строке — тоже двойки.

Задача 158. Докажите, что для любого многочлена степени 2 все «вторые разности» одинаковы.

Задача 159. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для многочленов третьей степени?

Задача 160. Найдите значения многочлена (этот многочлен рассматривал Л. Эйлер) при х = 1, 2,3,..., 10. Убедитесь, что все они — простые числа (не делятся нацело ни на что, кроме единицы и самого себя). Может быть, все числа простые?

Посмотрим теперь, что можно сказать о многочлене, если у нас есть какая-то информация о его значениях.

Многочленом степени не выше (с одной переменной) будем называть многочлен равный нулю, а также любые многочлены степени .

Например, многочлен степени не выше 1 имеет вид . При он имеет степень 1. При он имеет степень 0. При получается нулевой многочлен (степени не имеющий).

Аналогично многочлен степени не выше 2 имеет вид и т. д.

Задача 161. Известно, что — многочлен степени не выше Найти

Решение. По условию , где а и b — некоторые числа. Подставим

Сравнивая эти равенства, видим, что от добавления лишнего а число 7 превратилось в 5, поэтому Ответ:

Тем же способом можно найти любой многочлен степени не выше 1, если заданы его значения для двух различных значений

Те из вас, кто знает, что график — прямая, легко объяснят это геометрически: через две различные точки проходит прямая, причем только одна.

Задача 162. Многочлен степени не выше 1 удовлетворяет условию: Докажите, что при всех

Перейдем теперь к многочленам степени не выше 2. Сколько значений нужно знать, чтобы восстановить многочлен? Убедимся, что двух недостаточно.

Задача 163. Многочлен степени не выше 2 таков, что Можно ли утверждать, что

Решение. Нет: рассмотрим многочлен

Мы уже знаем, что многочлен для которого имеет вид , где — некоторый многочлен. Если к тому же степень не выше 2, то может быть только числом.

Задача 164. Многочлен степени не выше 2 таков, что Найти

Первое решение. Как мы только что видели, , где а — некоторое число. Чтобы его найти, подставим

откуда Ответ:

Второе решение. Многочлен степени не выше 2 имеет вид с. Подставив , получаем:

Отсюда

Добавление 2а превращает 0 в 4, поэтому . Отсюда Ответ: .

Задача 165. Доказать, что многочлен степени не выше 2 однозначно определяется тремя своими значениями.

Это значит, что если — многочлены степени не выше 2 и

для трех различных чисел , то многочлены равны.

Решение. Рассмотрим многочлен . По условию

Другими словами, числа — корни многочлена Но многочлен степени не выше 2, как мы видели, не может иметь трех корней (если только он не равен нулю).

Задача 166. Известно, что

Доказать, что

Задача 167. Доказать, что многочлен степени не выше однозначно задается значением. (Для эта задача уже была.)

Задача 168. Найти многочлен степени не выше 2, для которого:

Первое решение. Задача (а) уже была: ответ — Аналогично решаются (б) и (в). (Ответы: ). Теперь можно решить сложив три полученных многочлена. Ответ:

Второе решение, (для пункта ). Найдем сначала какой-нибудь многочлен Q степени не выше 2, для которого Например, годится многочлен (степени 1). У многочлена Q два значения какие нужно, а третье не такое. Это можно исправить, рассмотрев многочлен

Каково бы ни было число а, значения не изменятся. А подбором а можно сделать значение равным требуемому:

Чтобы было равно 4, положим . Ответ:

Задача 169. Найти многочлен степени не выше 3, для которого

Задача 170. Пусть — попарно различные числа, — любые числа. Доказать, что существует ровно один многочлен степени не выше 9, для которого

Задача 171- Не производя вычислений, убедиться, что существуют такие числа а, 6 и с, что

(Искать а, b и с не нужно, достаточно убедиться в их существовании.)

Задана 172. Старший коэффициент многочлена Р равен Какова наименьшая возможная степень многочлена Р? Чему равно в этом случае

Ответ. Степень равна .