69. Среднее квадратическое

Средним квадратическим двух неотрицательных чисел а, b называется неотрицательное число, квадрат которого есть среднее арифметическое квадратов чисел а и b, т. е. число

Задача 351. В определении речь идет о среднем арифметическом. Что получится, если заменить его на среднее геометрическое?

Задача 352. Доказать, что среднее квадратическое двух чисел больше или равно их среднего арифметического:

(Например, среднее квадратическое чисел 0 и а равно , а среднее арифметическое равно )

Решение. Сравним квадраты и докажем, что

Умножим на 4 и раскроем скобки

Снова левая часть есть квадрат и, следовательно, неотрицательна.

Задача 353. При каких а и b среднее квадратическое равно среднему арифметическому?

Задача 354. Доказать, что среднее геометрическое не превосходит среднего квадратического.

Геометрическая иллюстрация представлена на рис. 31. Нарисуем график . Соединим точки с координатами лежащие на нем, отрезком. Середина этого отрезка будет иметь координаты, являющиеся средними арифметическими координат концов, т. е.

Под ней на графике лежит точка

Рис. 31

так что

Таким образом, неравенство о среднем арифметическом и среднем квадратическом означает, что что график выпукл вниз (кривая лежит ниже «хорды.

Задача 355. Поменяв местами оси х и у, из графика мы получим график функции , который находится выше любой своей хорды (см. рис. 32). Какому неравенству это соответствует?

Ответ.

Рис. 32

Мы знаем теперь, что для любых неотрицательных а и b

Для каждого из этих трех видов среднего нарисуем точки (а, b), для которых среднее не превосходит 1 (см. рис. 33 а-в).

Рис. 33

Совместив их на одном рисунке (рис. 34), видим, что чем больше среднее, тем меньше соответствующая область.

Рис. 34

Задача 356. Доказать неравенство о среднем арифметическом и среднем квадратическом для трех чисел:

Задача 357. (а) Сумма двух положительных чисел равна 2. Каково минимальное значение суммы их квадратов?

(б) Тот же вопрос для суммы квадратов трех положительных чисел, сумма которых равна 3.