Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 50. Теорема ВиетаТеорема. Если квадратное уравнение
Другая формулировка: Если квадратное уравнение х^2 + рх + q имеет два различных корня а и Р, то
(Это — действительно другая запись того же утверждения, поскольку
а равенство многочленов Доказательство. (Первый вариант). По формуле для корней квадратного уравнения
где
но это не важно.) Тогда
и
Что и требовалось. (Второй вариант). Будем доказывать теорему Виета во второй из приведенный формулировок. Мы знаем, что если многочлен
В нашем случае, когда Р имеет степень 2, многочлен R может быть только числом (иначе правая часть имеет слишком большую степень), и число это равно 1, так как коэффициенты при
что и требовалось. Задача 255. Как обобщить теорему Виета на случай уравнения, имеющего ровно один корень? Остаются ли в силе предложеные способы доказательства? Задача 256. (Теорема Виета для кубического уравнения). Уравнение
Задача 257. Уравнение Решение. Задача 258. Уравнение Первое решение. Второе решение,
Задача 259. Уравнение
через Задача 260. Уравнение
через Теорема Виета позволяет составить квадратное уравнение с заданными корнями. Точнее, не теорема Виета, а обратная к ней: вот ее формулировка. Теорема. Если Доказательство. Уравнение Задача 261. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, имеющее число Указание. Второй корень равен Задача 262. Коэффициенты (а) сумма квадратов его корней — целое число; (б) сумма кубов его корней — целое число; (в) сумма Задача 263. 1. Доказать, что квадрат числа 2. То же для ( 3. Число 4. Доказать, что существует бесконечно много целых чисел а, b, для которых Решение. 4. Равенство
т. е. к, I — решение уравнения. Например, Задача 264. Доказать, что уравнение Решение. Если уравнение имеет корни разных знаков, то по теореме Виета коэффициент Другое объяснение: если
|
1 |
Оглавление
|