50. Теорема Виета

Теорема. Если квадратное уравнение имеет два (различных) корня то

Другая формулировка: Если квадратное уравнение х^2 + рх + q имеет два различных корня а и Р, то

(Это — действительно другая запись того же утверждения, поскольку

а равенство многочленов означает, что равны их коэффициенты.)

Доказательство. (Первый вариант). По формуле для корней квадратного уравнения

где . (Или наоборот:

но это не важно.) Тогда

и

Что и требовалось.

(Второй вариант). Будем доказывать теорему Виета во второй из приведенный формулировок. Мы знаем, что если многочлен имеет корни , то его можно разложить на множители:

В нашем случае, когда Р имеет степень 2, многочлен R может быть только числом (иначе правая часть имеет слишком большую степень), и число это равно 1, так как коэффициенты при у многочленов одинаковы. Значит,

что и требовалось.

Задача 255. Как обобщить теорему Виета на случай уравнения, имеющего ровно один корень? Остаются ли в силе предложеные способы доказательства?

Задача 256. (Теорема Виета для кубического уравнения). Уравнение имеет три корня . Доказать, что

Задача 257. Уравнение имеет корни Выразить через

Решение.

Задача 258. Уравнение имеет корни Выразить через

Первое решение.

Второе решение, — разность между корнями; глядя на формулу, видим, что она равна так что

Задача 259. Уравнение имеет корни . Выразить

через . (Этот многочлен от называется дискриминантом кубического уравнения. Как и в случае квадратного уравнения, он мал, если два корня близки друг к другу.)

Задача 260. Уравнение имеет корни а уравнение имеет корни Выразить

через . (Этот многочлен называется результантом двух квадратных многочленов; он равен нулю, если у них есть общий корень.)

Теорема Виета позволяет составить квадратное уравнение с заданными корнями. Точнее, не теорема Виета, а обратная к ней: вот ее формулировка.

Теорема. Если — любые числа, а , то уравнение имеет корни

Доказательство. Уравнение очевидно, имеет корни . Раскрыв скобки, убеждаемся, что это и есть уравнение

Задача 261. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, имеющее число своим корнем.

Указание. Второй корень равен

Задача 262. Коэффициенты квадратного уравнения (имеющего два корня) целые. Доказать, что

(а) сумма квадратов его корней — целое число;

(б) сумма кубов его корней — целое число;

(в) сумма степеней его корней при любом натуральном п — целое число.

Задача 263. 1. Доказать, что квадрат числа — целые) также имеет вид к для некоторых целых к, I.

2. То же для ( при любом целом

3. Число имеет вид к . Какой вид имеет число ?

4. Доказать, что существует бесконечно много целых чисел а, b, для которых

Решение. 4. Равенство выполнено при поскольку . Перепишем это равенство так: . Возведем обе части в степень: Число равно к при некоторых к и в этом случае равно к Итак,

т. е. к, I — решение уравнения.

Например, Проверим:

Задача 264. Доказать, что уравнение имеет два корня разных знаков в том и только в том случае, когда

Решение. Если уравнение имеет корни разных знаков, то по теореме Виета коэффициент , равный их произведению, меньше 0. Напротив, если произведение двух корней меньше 0, то корни будут разных знаков — если только корни есть. Убедиться в том, что корни есть, можно, вычислив дискриминант : если , то

Другое объяснение: если , то значение выражения при отрицательно. При больших выражение становится положительным «перевешивает» — значит, где-то в промежуточной точке оно обращается в нуль и уравнение имеет положительный корень. (Аналогично и для отрицательного корня.)