62. Степень с дробным показателем

Следующее мнемоническое правило может помочь запомнить свойства корней: эти свойства (задачи 278-286) получаются из свойств степеней, если считать, что

Например, основное свойство корня (его определение)

теперь переписывается в виде

и становится частным случаем правила

при

Свойство

теперь запишется в виде

и получается при

Задача 303. Получите с помощью этого приема все указанные в задачах 294-302 свойства корней (используя свойства степеней).

Иметь дело с мнемоническими правилами всегда несколько унизительно, поэтому давайте поднимем его в ранге и будем считать его определением степени с показателем (раньше мы рассматривали степени только с целым показателем).

Определение. При целом полагаем

Сразу же видно, что этого определения мало. Например, хотелось бы написать, что

(частный случай правила при . Но мы не знаем, что такое . Чтобы восполнить этот пробел, определим как и вообще как или, другими словами, как

Определение. Для целого и целого положительного определим

Внимательный читатель сразу же отметит подвох в этом определении. Например,

в то время как

Между тем и тем самым обязано равняться Чтобы наше определение было корректным, необходимо, чтобы

Задача 304. Проверьте это.

Решение.

Задача 305. Проверьте, что при сокращении общих множителей в дроби значение выражения согласно нашему определению не меняется.

Указание. См. предыдущую задачу, где в дроби 10/15 сократился общий множитель 5.

Теперь свойства степеней, которые мы знали для целых показателей, надо проверить для показателей, равных отношению двух целых чисел (рациональных показателей). Задача 306. Доказать, что

для любых дробей

Решение. Пусть, например, (в общем случае рассуждения аналогичны). Надо проверить, что

Приведем дроби 2/5 и 3/7 к общему знаменателю:

Мы уже знаем, что

поэтому

Задача 307. Доказать, что

Задача 308. Доказать, что

для любых рациональных показателей .

Решение. Сначала пусть q — целое,

Пусть теперь при некотором целом k, а . Тогда

Обозначив через b, продолжим:

Наконец, для произвольного имеем

Сначала мы воспользовались тем, что

и затем использовали, что

(Эти два частных случая интересующего нас равенства мы разобрали заранее.)

Задача 309. Доказать, что при значение увеличивается с ростом , а при значение уменьшается с ростом .

Указание. Приведите сравниваемые значения показателя к общему знаменателю. Не забудьте, что может быть и отрицательным (и в этом случае утверждение задачи остается верным).

Эта задача открывает возможность определения и для чисел не являющихся отношениями двух целых. Например, число

можно пытаться определить как число, большее всех чисел вида и меньшее всех чисел вида при (То, что такое число существует и единственно, доказывается в курсе математического анализа.)

Задача 310. Как бы Вы определили или

Ответ. Естественно считать, что