19. Правило умножения степеней

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

Это правило позволяет удобно работать с большими и малыми числами: например, для умножения на достаточно умножить 2 на 3 и сложить 7 и -11:

Подобным образом обычно выполняется умножение в компьютерах (только вместо 10 используется 2).

Задача 57.

Мы говорили, что принятое определение отрицательных степеней неизбежно и что отказ от него приведет к путанице. Сейчас мы поясним, что имелось в виду. Предположим, что

мы хотим определить отрицательные степени как-то иначе, но так, чтобы по-прежнему выполнялось равенство при всех тип. Оказывается, что это невозможно. В самом деле, при должно быть , т.е. . Следовательно, . Но тогда из с неизбежностью вытекает, что

Что получится, если степень вновь возвести в степень? Например,

Аналогично,

для любых положительных целых . И вновь ттяттпт соглашения об отрицательных степенях «думают за нас»: оказывается, что эта же формула верна и для отрицательных . Например,

Задача 58. Проверьте эту формулу для других комбинаций знаков (если если оба числа тип отрицательны; если одно из них равно нулю).

Еще одна, последняя, формула такова:

Задача 59. Проверьте эту формулу при положительных и отрицательных целых .

Задача 60. Чему равно или

Задача 61. Чему равно Верна ли ваша формула для отрицательных ?

Мы определили степени с положительным и отрицательным целым показателем. Однако на этом наши приключения с определением степени не кончатся: вспомните, что помимо целых чисел бывают и дробные.

Задача 62. Как Вы думаете, чему равно Можете ли Вы как-то обосновать свое предположение?

Впоследствии мы узнаем, как возвести число в дробную степень.