19. Правило умножения степеней
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
Это правило позволяет удобно работать с большими и малыми числами: например, для умножения
на
достаточно умножить 2 на 3 и сложить 7 и -11:
Подобным образом обычно выполняется умножение в компьютерах (только вместо 10 используется 2).
Задача 57.
Мы говорили, что принятое определение отрицательных степеней неизбежно и что отказ от него приведет к путанице. Сейчас мы поясним, что имелось в виду. Предположим, что
мы хотим определить отрицательные степени как-то иначе, но так, чтобы по-прежнему выполнялось равенство
при всех тип. Оказывается, что это невозможно. В самом деле, при
должно быть
, т.е.
. Следовательно,
. Но тогда из
с неизбежностью вытекает, что
Что получится, если степень вновь возвести в степень? Например,
Аналогично,
для любых положительных целых
. И вновь ттяттпт соглашения об отрицательных степенях «думают за нас»: оказывается, что эта же формула верна и для отрицательных
. Например,
Задача 58. Проверьте эту формулу для других комбинаций знаков (если
если оба числа тип отрицательны; если одно из них равно нулю).
Еще одна, последняя, формула такова:
Задача 59. Проверьте эту формулу при положительных и отрицательных целых
.
Задача 60. Чему равно
или
Задача 61. Чему равно
Верна ли ваша формула для отрицательных
?
Мы определили степени с положительным и отрицательным целым показателем. Однако на этом наши приключения с определением степени не кончатся: вспомните, что помимо целых чисел бывают и дробные.
Задача 62. Как Вы думаете, чему равно
Можете ли Вы как-то обосновать свое предположение?
Впоследствии мы узнаем, как возвести число в дробную степень.