44. Сумма бесконечной прогрессии

Один из «парадоксов Зенона» (древнегреческого философа) состоит в следующем (в изложении Льва Толстого в «Войне и мире», т. 3, ч. 3).

... Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху, несмотря на то, что Ахиллес идет в десять раз скорее черепахи: как только Ахиллес пройдет пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет впереди его одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдет эту десятую, черепаха пройдет одну сотую и т. д. до бесконечности. Задача эта представлялась древним неразрешимою.

Мы включили эту задачу в раздел о прогрессиях, поскольку отрезки, последовательно пробегаемые Ахиллесом, составляют геометрическую прогрессию

со знаменателем 1/10 (за единицу мы принимаем начальное расстояние между Ахиллесом и черепахой). Общее расстояние,

пройденное Ахиллесом до встречи с черепахой, есть «сумма бесконечного числа членов»

Педант заметил бы нам, что говорить о сумме бесконечного числа членов (не определяя эти понятия специально) не имеет смысла: прибавляя очередные члены, мы никогда не кончим. И он прав. Но мы все же не будем оправдываться, а вместо этого найдем эту сумму разными способами.

Способ 1. Обозначим сумму через S:

Тогда

откуда

Способ 2. Будем добавлять слагаемые по одному:

В итоге получится

что, как известно, равно (так как 1/9 = 0,111...).

Способ 3. По формуле суммы геометрической прогрессии

В нашем случае q = 1/10, а бесконечно (если можно так выразиться). Тогда бесконечно мало (ведь с ростом число быстро убывает) и им можно пренебречь. Получаем формулу

(мы изменили знаки в числителе и знаменателе). Вспомнив, что получим ответ

Способ 4. Вспомним, наконец, про Ахиллеса и черепаху. Здравый смысл подсказывает, что Ахиллес догонит черепаху, пробежав некоторое расстояние S. За это время черепаха, скорость которой в 10 раз меньше, проползет расстояние и расстояние между ними уменьшится на . В начале оно равнялось 1, а в момент встречи стало нулевым, так что

Пусть теперь Ахиллес стал бегать в 10 раз медленнее черепахи. Пока он пробегает расстояние до точки старта черепахи, черепаха уползает на вдесятеро большее расстояние. Когда Ахиллес добежит до этой точки, черепаха уползет на расстояние, в сто раз большее начального, и т. д. Получаем сумму

Разумеется, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Но тем не менее в формулу

можно подставить и получить «равенство»

Задача 238. Можно ли придать явно нелепому утверждению «Ахиллес догонит черепаху, пробежав —1/9 метра» какой-то смысл?

Указание. Можно.