Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 44. Сумма бесконечной прогрессииОдин из «парадоксов Зенона» (древнегреческого философа) состоит в следующем (в изложении Льва Толстого в «Войне и мире», т. 3, ч. 3). ... Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху, несмотря на то, что Ахиллес идет в десять раз скорее черепахи: как только Ахиллес пройдет пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет впереди его одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдет эту десятую, черепаха пройдет одну сотую и т. д. до бесконечности. Задача эта представлялась древним неразрешимою. Мы включили эту задачу в раздел о прогрессиях, поскольку отрезки, последовательно пробегаемые Ахиллесом, составляют геометрическую прогрессию
со знаменателем 1/10 (за единицу мы принимаем начальное расстояние между Ахиллесом и черепахой). Общее расстояние, пройденное Ахиллесом до встречи с черепахой, есть «сумма бесконечного числа членов»
Педант заметил бы нам, что говорить о сумме бесконечного числа членов (не определяя эти понятия специально) не имеет смысла: прибавляя очередные члены, мы никогда не кончим. И он прав. Но мы все же не будем оправдываться, а вместо этого найдем эту сумму разными способами. Способ 1. Обозначим сумму через S:
Тогда
откуда
Способ 2. Будем добавлять слагаемые по одному:
В итоге получится
что, как известно, равно Способ 3. По формуле суммы геометрической прогрессии
В нашем случае q = 1/10, а
(мы изменили знаки в числителе и знаменателе). Вспомнив, что Способ 4. Вспомним, наконец, про Ахиллеса и черепаху. Здравый смысл подсказывает, что Ахиллес догонит черепаху, пробежав некоторое расстояние S. За это время черепаха, скорость которой в 10 раз меньше, проползет расстояние Пусть теперь Ахиллес стал бегать в 10 раз медленнее черепахи. Пока он пробегает расстояние до точки старта черепахи, черепаха уползает на вдесятеро большее расстояние. Когда Ахиллес добежит до этой точки, черепаха уползет на расстояние, в сто раз большее начального, и т. д. Получаем сумму
Разумеется, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Но тем не менее в формулу
можно подставить
Задача 238. Можно ли придать явно нелепому утверждению «Ахиллес догонит черепаху, пробежав —1/9 метра» какой-то смысл? Указание. Можно.
|
1 |
Оглавление
|