Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 35. Деление многочленов с остаткомОбыкновенные дроби, числитель и знаменатель которых — целые положительные числа, бывают правильные и неправильные. Правильные — это те, у которых числитель меньше знаменателя. Например, Из неправильной дроби можно выделить целую часть, разделив с остатком числитель на знаменатель; останется правильная дробь:
Сейчас мы научимся выполнять аналогичные преобразования для дробей, числитель и знаменатель которых — многочлены с одной переменной. Такая дробь считается правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Например, Всякая неправильная дробь может быть преобразовала к виду (многочлен) Приведем несколько примеров преобразования неправильной дроби к такому виду.
(Когда мы говорили, что в многочленах не может быть деления, это не значило, что коэффициенты обязательно целые — они могут быть любыми, в том числе и дробными. Так, например, число 1/2 — вполне законный многочлен степени 0.)
Существует стандартный способ выделения многочлена из неправильной рациональной дроби, аналогичный обычному делению чисел «уголком». Покажем его на примерах: Пример. Преобразуем неправильную дробь
Та же процедура может быть записана иначе:
Пример. Теперь преобразуем дробь
Другая запись тех же преобразований:
Итак,
Пример (последний). Преобразуем дробь
Те же преобразования:
Итак,
Задача 142. Каковы могут быть степени остатка и неполного частного при делении многочлена степени 7 на многочлен степени 3? Ответ. Степень неполного частного равна 4, степень остатка может быть 0,1,2 или 3; кроме того, остатка может не быть вовсе (т. е. он может быть равен 0). Задача 143. Доказать, что неполное частное и остаток (обладающие указанными в рамке свойствами) всегда существуют и единственны. Решение. Метод нахождения неполного частного и остатка был продемонстрирован выше на примерах. Для доказательства единственности предположим, что при делении Р на S могут получиться два неполных частных
причем у обоих многочленов
и, следовательно,
Если получившийся многочлен Что считать остатком и частным, если степень делимого с самого начала меньше степени делителя? В этом случае полагают, что частное равно 0, а остаток равен делимому. Деление многочленов похоже на обычное деление:
В этом примере аналогия полная; чтобы убедиться в этом, достаточно подставить 10 вместо х. В других случаях, например,
аналогия неполная: подставив в последнее равенство Задача 144. 1. Разделить 2. Разделить 3. Разделить 4. Разделить 5. Разделить Пункты 1-3 являются частным случаем общей формулы
которую легко проверить делением уголком или просто перемножив
(она годится для всех х, кроме 1). См. ниже о сумме геометрической прогрессии. Задача 145. Степени двойки
обладают таким свойством: сумма нескольких первых чисел этой последовательности на единицу меньше следующего числа:
и т. д. Объяснить наблюдаемую закономерность. Решение. Подставим в равенство
значение х = 2. Получим
Возможно другое решение. Чтобы вычислить сумму 1 + 2 + 4 + 8 + 16, прибавим и вычтем 1:
Аналогично для других степеней.
|
1 |
Оглавление
|