33. Преобразование рационального выражения в частное двух многочленов

Рациональное выражение может включать в себя несколько операций деления. Однако его можно преобразовать так, чтобы операция деления была единственной, и притом последней. Другими словами, всякое рациональное выражение может быть преобразовано в частное двух многочленов. Делается это с помощью таких приемов.

1. Сложение. Пусть мы хотим сложить дроби , где — многочлены. Приведем дроби к общему знаменателю (если не придумаем ничего лучшего, можно домножить на на ):

2. Вычитание аналогично:

3. Умножение:

4. Деление:

В ходе преобразований иногда удается сократить дробь, выделив один и тот же множитель в числителе и знаменателе:

Задача 129. Преобразовать выражения (б)-(д) и (ж) из приведенных нами в качестве примеров к указанному виду (выражения (а) и (е) уже имеют такой вид).

Ответы и решения.

Отметим, что при преобразованиях одного и того же выражения можно получить разные ответы. Например, выражение

можно оставить как есть, а можно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить:

Замечание. Строго говоря, сокращение — не вполне законная операция, ведь при некоторых значениях переменных сокращаемое выражение может равняться нулю. Например, не имеет смысла при имеет. Обычно на этот эффект не обращают внимания, но иногда он становится важным.

Часто предлагаются задачи, в которых требуется «упростить выражение» — привести его к наиболее простому виду. Хотя простота — это дело вкуса, в таких задачах обычно ясно, чего хотят их авторы.

Задача 130. Упростить выражение

Решение. Сложим две первые дроби, приведя их к общему знаменателю (числитель и знаменатель первой дроби умножаем на b — а, числитель и знаменатель второй — на с — а; используем, что :

Сократив на , получаем

Прибавим теперь третью дробь (знаменатели у них одинаковы):

Итак, мы доказали тождество

Задача 131. Проверить это тождество для частных случаев

Мы увидим впоследствии, что этой проверки на самом деле достаточно, чтобы убедиться в истинности тождества. Так что можно было бы избежать утомительных вычислений, которые мы провели.

В заключение — несколько задач, в которых встречаются рациональные выражения.

Выражение

(обратное к среднему арифметическому чисел, обратных к числам a и b) называется средним гармоническим чисел а и b. Оно часто встречается в различных задачах.

Задача 132. Бассейн разделен на две равные части, каждая из которых наполняется своей трубой — одна за а часов, другая за b часов. За сколько часов наполнится бассейн, если включить обе трубы, убрав перегородку?

Задача 133. Двигаясь по течению реки, катер проходит путь из А в Б за а часов, против течения (из Б в А) — за b часов. За сколько времени он прошел бы путь из А в Б, если бы течения не было? (Скорость катера и течения считать постоянными).

Задача 134. Первую половину пути машина ехала со скоростью вторую — со скоростью Какова ее средняя скорость?

Задача 135. Известно, что . Вычислить

Задача 136. Число — целое. Доказать, что число для любого также является целым.

Задача 137. Преобразовывая выражение (г) на странице 77, мы обнаружили, что

Записав в виде отношения многочленов рациональные выражения

попытайтесь обнаружить закономерность, которой подчиняются коэффициенты этих многочленов. (Такого рода выражения называются непрерывными дробями, коэффициенты многочленов в нашей задаче оказываются так называемыми числами Фибоначчи, см. стр. 112.)