57. Максимум и минимум квадратного трехчлена

Задана 279. Сумма двух чисел равна 1. Какое наибольшее значение может принимать их произведение?

Первое решение. Бели одно число обозначить через х, то второе будет равно х, а их произведение равно . Трехчлен направлен рогами вниз (при стоит минус), а корни его х = 0 и х = 1, так что вершина, находясь посередине между корнями, имеет абсциссу а максимальное значение равно .

Ответ. Максимальное значение равно

Второе решение. Обозначим одно число за , тогда второе будет равно х, а их произведение равно

так что максимальное значение достигается, когда (оба числа равны ).

Задача 280. Доказать, что квадрат имеет максимальную площадь среди всех прямоугольников данного периметра.

Задача 281. Доказать, что квадрат имеет минимальный периметр среди всех прямоугольников данной площади.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Задача 282. Какое наименьшее значение может принимать выражение при положительных х?

Первое решение. Посмотрим, каких число может быть значением выражения . Другими словами, мы хотим узнать, при каких с уравнение

имеет решение. Это уравнение можно умножить на и интересоваться, при каких с уравнение

имеет решение. (Это решение не может быть нулем, так как — так что на х можно будет поделить).

Уравнение или, что то же, имеет решение, когда его дискриминант

неотрицателен, т. е. когда 2, т. е.

Итак, уравнение имеет решение при Наименьшее значение выражения при положительных х равно

Второе решение, - стороны прямоугольника площади 2, а х - его полупериметр. Он будет минимален, когда прямоугольник — квадрат (см. предыдущую задачу), т.е. когда При таком х значение выражения х равно