27. Многочлены

Многочленом называют выражение, составленное из букв и чисел с помощью операций сложения, вычитания и умножения. Входящие в него буквы называют переменными. Примеры многочленов:

В этих примерах, помимо сложения, вычитания и умножения, используется возведение в целую положительную степень. Это допустимо, тале кале оно сводится к умножению например, есть сокращение для . Но или — не многочлены.

Одночленом называется многочлен, не содержащий сложения и вычитания, т. е. являющиеся произведением букв и чисел. Примеры одночленов:

(в последнем примере знак минус — это не вычитание, а часть обозначения числа ).

Записывая одночлен, обычно группируют вместе числа и одинаковые буквы: вместо пишут

Обратите внимание, что одночлен — это тоже многочлен: в математике часто один — это уже много. (Математики говорят о «множестве решений» какого-то уравнения, даже если у него только одно решение или решений вообще нет.)

Раскрывая скобки, любой многочлен можно преобразовать в сумму одночленов. Например,

При этом могут возникнуть подобные члены — содержащие одни и те же буквы в одинаковых степенях. Например, во

втором из только что приведенных примеров одночлены подобны. Подобные одночлены можно объединить:

Эту операцию называют «приведением подобных членов».

Задача 91. Многочлен преобразовать в сумму одночленов и привести подобные члены.

Решение.

(подобные члены подчеркнуты).

Строго говоря, это еще не все: по условию должна быть сумма одночленов, а у нас есть вычитание. Это легко исправить, записав

(для единообразия мы добавили множители 1).

Стандартным видом многочлена называют его запись в виде суммы одночленов, в которой каждый одночлен есть произведение числа (коэффициента) и степеней различных букв, причём подобные члены уже приведены. Решая предыдущую задачу, мы привели многочлен к стандартному виду.

Чтобы сложить два многочлена в стандартном виде, достаточно сложить коэффициенты при подобных членах. При этом некоторые члены могут сократиться:

При умножении надо умножить каждое слагаемое на каждое. Умножая два одночлена, мы складываем степени при каждой переменной:

После этого надо привести подобные. Например,

(Подобные члены подчеркнуты одинаково; дотошный читатель отметит, что мы нарушили правила записи многочленов в стандартном виде, опустив коэффициенты —1 и 1.) Задача 92.

1. Перемножить ).

2. Перемножить ).

3. Перемножить ).

4. Найти

5. Найти

6. Найти коэффициент при в

7. Перемножить ).

8. Перемножить (а )

9. Перемножить )