45. Уравнения
Когда мы писали, к примеру, что
то подразумевалось, что левая и правая части равны при любых а и b. Такие равенства называют тождествами. Тождество можно доказать (преобразовав левую и правую части так, что они станут одинаковыми) или опровергнуть (найдя значения букв, при которых левая и правая часть не равны). Уравнение, как и тождество, состоит из левой и правой части, соединенных знаком равенства, но задача другая: его надо решить, т. е. выяснить, при каких значениях букв левая и правая части равны.
Например, уравнение
можно решить так: вычтя 
из обеих частей, получим равносильное уравнение
(равносильность означает, что если одно из уравнений верно для какого-то значения 
, то верно и другое). Разделив обе части на 3, получим
Следовательно, уравнение 
имеет единственное решение 
Замечание. Уравнение
не имеет решения. (Доказательство: если 
, то 
, что невозможно.) Однако математики не говорят, что это уравнение неразрешимо. Напротив, они говорят, что уравнение решено, после того как докажут, что оно не имеет решений. Таким образом, «решить уравнение» — значит найти все решения, или доказать, что решений нет.
Терминология здесь такова (см. табл. 13).
Таблица 13
Решения уравнения с одной неизвестной называют также его «корнями».
