25. Четвертая степень суммы

Прежде чем вычислять попытаемся угадать ответ. Для этого выпишем уже известные формулы:

Чтобы пополнить наш «экспериментальный материал», можно добавить к ним

Итак, вот что мы уже имеем:

Попробуем отгадать, что будет дальше. Сколько будет слагаемых? Конечно, пять. Каково будет первое слагаемое? Конечно, . А следующее? Это уже сложнее. Разобьем вопрос на два:

(1) какие будут степени a и b?

(2) какие будут при них числовые коэффициенты?

Первый вопрос проще. Мы знаем, что

поэтому есть все основания предположить, что

Теперь напишем коэффициенты — при этом для единообразия напишем множитель 1 там, где его нет:

Сами коэффициенты:

Первый из неизвестных коэффициентов, конечно, равен 1. Второй, вероятно, 4 (поскольку над ним стоят 1, 2, 3)

Еще два коэффициента можно угадать. Так как в буква b ничем не хуже буквы а, то коэффициент при такой же, что и при , а коэффициент при такой же, как при

Что же касается коэффициента при , то так просто его не угадаешь — надо вычислять. Сделаем это, снова записывая

подобные члены друг под другом:

Объединяя (или, как говорят, «приводя») подобные члены, получаем

Все наши догадки подтвердились; кроме того, мы нашли коэффициент при оказавшийся равным 6.