25. Четвертая степень суммы
Прежде чем вычислять
попытаемся угадать ответ. Для этого выпишем уже известные формулы:
Чтобы пополнить наш «экспериментальный материал», можно добавить к ним
Итак, вот что мы уже имеем:
Попробуем отгадать, что будет дальше. Сколько будет слагаемых? Конечно, пять. Каково будет первое слагаемое? Конечно,
. А следующее? Это уже сложнее. Разобьем вопрос на два:
(1) какие будут степени a и b?
(2) какие будут при них числовые коэффициенты?
Первый вопрос проще. Мы знаем, что
поэтому есть все основания предположить, что
Теперь напишем коэффициенты — при этом для единообразия напишем множитель 1 там, где его нет:
Сами коэффициенты:
Первый из неизвестных коэффициентов, конечно, равен 1. Второй, вероятно, 4 (поскольку над ним стоят 1, 2, 3)
Еще два коэффициента можно угадать. Так как в
буква b ничем не хуже буквы а, то коэффициент при
такой же, что и при
, а коэффициент при
такой же, как при
Что же касается коэффициента при
, то так просто его не угадаешь — надо вычислять. Сделаем это, снова записывая
подобные члены друг под другом:
Объединяя (или, как говорят, «приводя») подобные члены, получаем
Все наши догадки подтвердились; кроме того, мы нашли коэффициент при
оказавшийся равным 6.