70. Среднее гармоническое
Средним гармоническим положительных чисел о, b называется число, обратное к которому является средним арифметическим между 
, т.е. число
Задача 358. Доказать, что среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического.
Решение. Обратная к среднему гармоническому величина есть среднее арифметическое чисел 
обратная к среднему геометрическому величина есть среднее геометрическое чисел 
так что остается сослаться на неравенство о среднем арифметическом и геометрическом.
Задача 359. Числа 
положительны. Доказать, что
Решение. Искомое неравенство можно переписать в виде
т. е. надо доказать, что среднее арифметическое 
чисел больше или равно их среднего гармонического. Это становится ясным, если вставить между ними среднее геометрическое:
последнее неравенство сводится к неравенству о среднем арифметическом и геометрическом чисел 
.
Другое решение использует следующий трюк. Будем доказывать более общее неравенство (называемое неравенством Коши—Буняковского)
(если подставить в него 
получим требуемое).
Чтобы доказать неравенство Коши—Буняковского, рассмотрим квадратичный трехчлен
Раскрыв в нем скобки и сгруппировав члены по степеням х, получим трехчлен
где
При любых x этот трехчлен неотрицателен — ведь он есть сумма квадратов. Значит, его дискриминант 
не больше нуля, т.е.
и
Как Вам понравился этот трюк?
