Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 68. Средние многих чиселСреднее арифметическое трех чисел а, b, с определяется как
среднее геометрическое неотрицательных чисел
Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом верно для любого количества чисел:
Как и в разобранном ранее случае двух чисел, равенство возможно, только если все числа равны. Прежде чем доказывать неравенство, извлечем некоторые следствия. Задача 331. Используя неравенство, доказать, что если
то
Решение.
В двух следующих задачах также предполагается использовать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (без доказательства). Задача 332. Доказать, что произведение Задача 333. Доказать, что сумма Существуют разные доказательства неравенства о средних арифметическом и геометрическом, но наиболее естественное использует математический анализ (понятие производной). Мы обойдемся без него — но поневоле это будет выглядеть как трюк. Задача 334. Доказать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для Решение. Нам даны 4 неотрицательных числа а, b, с, d. Будем менять их, сохраняя неизменной их сумму (и, следовательно, среднее арифметическое). При этом их произведение будет меняться — и мы будем следить за тем, как именно. Наше доказательство проходит в несколько этапов. 1. Заменим а и
Сумма не изменится. Произведение возрастет (или останется прежним, если 2. То же самое сделаем с
Сумма не изменится, произведение снова увеличится (или останется прежним, если 3. Мы выравняли числа в первой паре и во второй паре, теперь будем выравнивать между парами:
4. Теперь осталось выравнять второе и четвертое числа:
В конечном итоге мы заменили числа
на числа
где
или
Что и требовалось. Задача 335. Доказать, что неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для четырех чисел превращается в равенство, только если все числа равны. Указание. Из решения предыдущей задачи видно, что равенство возможно лишь, если на всех стадиях описанного там процесса наши числа фактически не изменялись. Задача 336. Как доказать неравенство о среднем арифметическом и геометрическом для Решение. Точно так же: сначала выравниваем числа в четырех парах, затем между парами — и получается две четверки, затем выравниваем все восемь. Задача 337. Доказать неравенство о среднем арифметическом и геометрическом для Решение. Из трех чисел а, b, с сделаем четыре, добавив среднее геометрическое: получатся числа
к которым применим неравенство для четырех чисел:
Корень, стоящий в левой части неравенства, представляет собой не что иное, как
и
Итак,
Что и требовалось доказать. Задача 338. Используя неравенство о средних для Задача 339. Доказать неравенство о средних для Указание. Воспользоваться предыдущими задачами. Задача 340. Доказать неравенство о средних для всех целых 71 2. Указание. Сначала доказываем для Задача 341. Доказать, что неравенство между арифметическим и геометрическим средними обращается в равенство, только если все числа равны. Неравенство о среднем арифметическом и геометрическом можно доказывать и по-другому. Заметим прежде всего, что если все числа все числа во столько раз, чтобы среднее арифметическое стало равно 1. Тем самым достаточно доказать:
Будем доказывать это для различных значений n. 1. Для 2. Докажем это для
будет отрицательным, т. е.
Так как
то
или
Глядите-ка: мы имеем два числа Внимательный читатель остановит нас: для двух чисел мы доказали, что если сумма равна 2, то произведение не больше 1. А здесь сумма меньше 2. Но эта разница несущественна: увеличим одно из чисел, сделав сумму равной 2 — от этого произведение только возрастет. 3. Пусть теперь
Опять же одно из чисел (например, а) должно быть меньше 1, а другое (например, b) должно быть больше 1. Тогда
поэтому
И вновь осталось доказать, что если сумма трех (неотрицательных) чисел меньше 3, то их произведение не больше 1 — мы свели дело к доказанному ранее. И так далее. Следующее доказательство неравенства о среднем арифметическом и геометрическом для трех чисел является, вероятно, самым коротким — но и самым загадочным. Из тождества
которое легко проверить, раскрыв скобки, следует, что при неотрицательных о, 6, с его левая часть неотрицательна, то есть
Остается подставить вместо а, b и с кубические корни
А вот еще одно обоснование неравенства о среднем арифметическом и геометрическом. Нам нужно доказать, что произведение Задача 342. Найти недостаток в этом рассуждении. Ответ. Мы доказали, что максимум произведения Задача 343. Числа
Задача 344. Доказать, что
при любых Задана 345. Каково минимальное значение а Задача 346. Доказать неравенство
для любых неотрицательных а, b и с. Задача 347. Доказать неравенство
Задача 348. Доказать, что
Решение. Число Задача 349. Доказать, что
Указание. Правую часть можно представить в виде произведения 11 сомножителей, один из которых равен
а остальные равны Задача 350. Расположите 4 числа из двух предыдущих задач в порядке возрастания.
|
1 |
Оглавление
|