67. Геометрические иллюстрации

Некоторые из доказанных неравенств можно пояснить рисунками.

1. Неравенство

перепишем в виде

и, возведя в квадрат, получим

Это подтверждается тем, что четыре прямоугольника можно поместить в квадрат со стороной а и при этом еще останется свободное место в середине, если (см. рис. 28).

Задача 330. Сколько останется места? Сравните результат с алгебраическим доказательством неравенства о средних.

2. Проведем биссектрису прямого угла и построим два равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами a и b (см. рис. 29). Их площади равны . Вместе эти

Рис. 28

Рис. 29

треугольники покрывают прямоугольник , поэтому

Чтобы увидеть в этом неравенстве неравенство о средних, подставим вместо а и b:

Рис. 30

Замечание. Вместо биссектрисы можно было бы провести другие линии (см. рис. 30) и доказать другие неравенства — надо только уметь вычислять площади «криволинейных треугольников». Например, для кривой получаем (как подтвердят знатоки математического анализа) «треугольники» площадей и неравенство

которое выполняется для любых неотрицательных а и b.