67. Геометрические иллюстрации
Некоторые из доказанных неравенств можно пояснить рисунками.
1. Неравенство
перепишем в виде
и, возведя в квадрат, получим
Это подтверждается тем, что четыре прямоугольника 
можно поместить в квадрат со стороной а 
и при этом еще останется свободное место в середине, если 
(см. рис. 28).
Задача 330. Сколько останется места? Сравните результат с алгебраическим доказательством неравенства о средних.
2. Проведем биссектрису прямого угла и построим два равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами a и b (см. рис. 29). Их площади равны 
. Вместе эти
Рис. 28
Рис. 29
треугольники покрывают прямоугольник 
, поэтому
Чтобы увидеть в этом неравенстве неравенство о средних, подставим 
вместо а и b:
Рис. 30
Замечание. Вместо биссектрисы можно было бы провести другие линии (см. рис. 30) и доказать другие неравенства — надо только уметь вычислять площади «криволинейных треугольников». Например, для кривой 
получаем (как подтвердят знатоки математического анализа) «треугольники» площадей 
и неравенство
которое выполняется для любых неотрицательных а и b.
