31. Разложение на множители

Умножение многочленов — операция подчас трудоемкая, но не требующая сообразительности — надо лишь аккуратно следовать правилам. Обратная операция — разложение многочлена в произведение нескольких множителей — требует большей изобретательности (а иногда и вообще невыполнима). Мы разберем сейчас несколько приемов.

Задача 108. Разложить на множители многочлен

Решение.

Задача 109. Разложить на множители многочлены:

Иногда оказывается необходимым разбить один член на два, прежде чем удастся сгруппировать члены подходящим образом:

Задача 110. Разложить на множители многочлен

Решение. .

Задача 111. Разложить на множители:

Формулу квадрата суммы можно прочесть «справа налево», рассматривая ее как разложение многочлена на множители. Это же разложение можно получить так:

Задача 112. Разложить на множители:

Иногда оказывается необходимым добавить и вычесть некоторые одночлены. Этот прием мы продемонстрируем на примере многочлена (хотя его разложение нам и так известно):

Задача 113. Разложить на множители . Решение.

Возможно, это решение обескуражило Вас — непонятно, как до него догадаться. Авторам это тоже непонятно.

Посмотрим на разложение еще с одной точки зрения. Если , то правая часть обращается в нуль (один сомножитель равен нулю).

Значит, и левая тоже. Это и понятно: если , то Аналогично, если , то этом случае от изменения знака числа его квадрат не меняется).

Задача 114. Доказать, что если , то или

Таким образом, раскладывая выражение на множители, полезно поинтересоваться, когда оно равно нулю — это может подсказать сомножители.

Задача 115. Разложить на множители

Решение. Выражение обращается в нуль, если Поэтому можно предположить, что одним из множителей будет а — b. После этого найти разложение не так сложно:

Задача 116. Разложить на множители

Решение. .

Это же разложение можно получить из предыдущего, подставив вместо b.

Задача 117. Разложить на множители

Решение,

Заметим, что можно разложить и иначе:

Оба разложения получаются из разложения

различной группировкой сомножителей.

Задача 118. Разложить на множители:

Задача 119. Разложить на множители

Решение. Воспользовавшись тем, что запишем

Попытаемся применить тот же прием к многочлену Здесь нам понадобится число, называемое «квадратный корень из двух», обозначаемое и равное примерно — его главное свойство состоит в том, что его квадрат равен (Вообще квадратным корнем из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а. Это число обозначается Такое число всегда существует, причем только одно; к вопросу о квадратных корнях мы еще вернемся.)

С помощью квадратного корня из 2 мы можем записать:

Таким образом, нам удалось разложить на множители, правда, в качестве коэффициента пришлось использовать

Замечание. Запишем

Значит ли это, что нам удалось разложить на множители? Конечно, нет, так как — не многочлен (операция извлечения квадратного корня не допускается в многочленах — только сложение, вычитание и умножение). А как же ? Почему мы считаем это выражение многочленом? Дело в том, что многочлен — по нашему определению —

строится из букв и чисел с помощью операций сложения, вычитания и умножения. А самое настоящее число (хотя и равное квадратному корню из другого числа). Так что все в порядке.

Задача 120. Разложить на множители:

Задача 121. Разложить на множители (Известное нам разложение для тут не помогает, так как подставив в него ) вместо , мы ничего нового не получаем.)

Решение. Применим хитрость: добавим и вычтем

Подведем некоторые итоги. Мы научились разлагать на множители при любом (один из множителей равен а — b). При нечетном из этого разложения можно получить разложение для (подстановка —b вместо ; один из множителей равен ). Остаются еще многочлены и т. д. Для второго из них мы нашли разложение на множители.

Задача 122. Какие еще многочлены вида можно разложить на множители?

Указание, Аналогичный прием можно применить в случаях, когда имеет нечетный делитель, больший 1, или делится на 4 — мы научились разлагать на множители все многочлены вида кроме

Разложить можно было бы так:

да вот беда — квадратного корня из —1 (т. е. числа, квадрат которого равен —1) не существует, так как квадрат любого ненулевого числа положителен. Ну что решили математики, если такого числа нет, то его надо выдумать. И выдумали — и получились числа, которые назвали комплексными. Но это уже другая история.

Задача 123. Как Вы думаете, чему равно произведение двух «комплексных чисел»:

В заключение — несколько задач потруднее.

Задача 124. Разложить на множители:

Задача 125. Доказать, что если , то . Указание. Разложить на множители

Задача 126. Доказать, что если , то

Указание. Вспомнить разложение для (Другое решение мы увидим дальше, когда речь пойдет о квадратных уравнениях.)

Задача 127. Доказать, что если , то .

Задача 128. Доказать, что если

то среди чисел а, b, с есть равные по величине и противоположные по знаку (т. е. или ).