12. Операторная форма функций общего вида.

Итак, мы получили метод вычисления средних значений любой функции х и любой функции Но представим себе, что мы хотим получить среднее значение какой-либо функции типа зависящей одновременно и от х, и от Ясно, что это можно сделать в координатном представлении, применив наше правило и заменив оператором так же как мы поступали, имея дело только с Таким образом, попробуем записать

Аналогично в импульсном представлении можно заменить х на и записать

Минимальное требование, которому должно удовлетворять такое приближенное правило, заключается в том, чтобы оно давало правильные средние величины в классическом пределе. Другими словами, оно должно удовлетворять принципу соответствия. Покажем, что это так и есть, для этого рассмотрим волновую функцию

принимающую форму волнового пакета. До тех пор пока рассматриваются классические результаты, ни одно важное физическое свойство внутри пакета не может заметно измениться. Это обусловлено тем, что в классическом пределе пакет по существу имеет вид частицы, и если систему надо описать классически, то специфические волновые свойства пакета не играют роли. Следовательно можно пренебречь всеми изменениями х внутри пакета и заменить х на х, считая последнее существенно постоянным. Это означает, что можно вычислить по обычному правилу, выраженному уравнением (9.4а). Следовательно, мы видим, что наше приближенное правило дает, по крайней мере в классическом пределе, верный результат. Путем аналогичных рассуждений можно прийти к тому же выводу и для импульсного представления.

Вышеуказанное приближенное правило легко обобщается на любую функцию которую можно представить в виде степенного ряда относительно Для этого (в координатном представлении) мы везде заменяем число на оператор В итоге имеем

и

Определение операторов, которые нельзя представить в виде степенных рядов, разбирается ниже.