20. Дискретный и непрерывный спектр собственных значений операторов.

Предположим, что мы имеем частицу, заключенную в ящике длины Тогда (в одномерном случае) волновая функция должна исчезать при Единственные собственные функции оператора для которых это условие выполняется, имеют вид

где целое число. Итак, мы получаем

и следовательно, собственные значения равны в пределе Таким образом, мы получили дискретный спектр собственных значений по одному для каждого целого числа

В общем случае, всякий раз, когда нужно удовлетворить каким-нибудь граничным условиям, собственные значения оказываются дискретными, как и в вышеприведенном примере. С другой стороны, для свободного пространства без каких бы то ни было границ возможны все положительные значения и спектр получается непрерывным. Это тоже общее правило: если нет граничных условий, ограничивающих область, где волновая функция велика, то операторы обычно имеют непрерывный спектр. В некоторых случаях, например для атома водорода, часть спектра, как мы увидим, дискретна, а часть — непрерывна. Дискретная часть спектра соответствует различным квантовым состояниям атома водорода; непрерывная часть соответствует состояниям ионизованного атома.

Любой непрерывный спектр можно рассматривать как предел дискретного спектра, в котором ограничивающие потенциальные барьеры удалены на бесконечность. Например, в случае свободной частицы в ящике, если стремить в пределе то расстояния

между энергетическими уровнями будут стремиться к нулю, и спектр буде стремиться к непрерывному.