25. Градиентная (калибровочная) инвариантность.

Выясним теперь, инвариантна ли наша теория к градиентному преобразованию (см. гл. . Другими словами, физические результаты не должны меняться, когда потенциалы претерпевают градиентное преобразование. Если это требование не удовлетворяется, то в общем случае уравнения движения в классическом пределе должны были бы меняться при градиентном преобразовании, вопреки известному факту, что они не изменяются при таком преобразовании. В связи с этим надо заметить, что даже классический канонический импульс

зависит от выбора градиентного преобразования. Физический смысл имеют лишь те величины, которые удовлетворяют градиентной инвариантности. В данном случае градиентно инвариантной величиной является скорость

Задача 10. Доказать, что скорость инвариантна относительно классического градиентного преобразования.

В квантовой теории не существует понятия «скорость» (см. гл. 8, п. 6). Вместо него имеется лишь понятие средней скорости, которая является средней величиной оператора . Как и в случае с нулевым векторным потенциалом, этот оператор можно определить, только когда положение электрона определено не слишком точно.

Чтобы продемонстрировать свойство градиентной инвариантности величин, имеющих физический смысл, запишем полное уравнение Шрёдингера

Проведем теперь градиентное преобразование Уравнение Шредингера принимает вид

Легко показать, что это уравнение эквивалентно следующему:

Поэтому в представлении новых потенциалов новая волновая функция удовлетворяет тому же волновому уравнению, которому удовлетворяла ранее сама функция Поэтому функция является новым решением. При этом следует заметить, что вероятность оказывается одной и той же как для этой новой функции, так и для старой. Более того, ток вероятности как для так и для и А оказывается одинаковым.

Задача 11. Доказать это утверждение.

Можно показать, что выражения для всех физически наблюдаемых величин остаются также одинаковыми, т. е. не изменяются при градиентном преобразовании. Поэтому можно сделать вывод, что в квантовой теории, как и в классической, градиентное преобразование не приводит к новым физическим результатам.