Вывод уравнения Шрёдингера

22. Общая форма уравнения Шрёдингера.

В части I уже показано, что для свободной частицы волновая функция удовлетворяет уравнению

Были приведены дополнительные доводы, показывающие, что это уравнение должно быть всегда первого порядка относительно времени для того, чтобы можно было получить картину движения волновых пакетов, правильно приближающуюся к классическому пределу, а также для того, чтобы могла существовать сохраняющаяся функция плотности вероятности с разумными общими свойствами. Это означает, что в общем случае (даже при действии сил) можно писать

где — некоторая функция от не включающая производных по времени. Это общее волновое уравнение.

В п. 1 было показано, что основной постулат квантовой теории заключается в гипотезе линейной суперпозиции волн. Это означает, что если возможные волновые функции, то тоже возможная волновая функция. Но так как все возможные вол: новые функции должны быть решениями волнового уравнения, то сумма двух решений тоже Является решением. Поэтому волновое

уравнение должно быть линейным, а —линейным оператором разбиравшегося выше типа.

23. Сохранение вероятности и эрмитовость Н.

От оператора дополнительно требуется, чтобы он был эрмитовским для сохранения вероятности постоянной, т. е. должно быть где интегральная вероятность Это означает, что

Из волнового уравнения (9.31) можно выразить через учтя также, что

Получаем

Используя определение эрмитовски сопряженного оператора (уравнение (9.25)), получаем

Если выражение (9.33) равно нулю для произвольного то в соответствии с определением, даваемым уравнением (9.13), является эрмитовским оператором. Обратно, если — эрмитовский оператор, то вероятность всегда сохраняется.

24. Определение Н из принципа соответствия.

Дальнейшие ограничения на накладывает принцип соответствия. Их можно вывести таким же путем, какой использовался при выводе волнового уравнения свободной частицы. В случае свободной частицы мы получили волновое уравнение из соотношений де Бройля: Но последнее было получено из условия, что волновые пакеты движутся со скоростью классической частицы, а также из условия Теперь потребуем, чтобы средняя скорость волнового пакета равнялась скорости классической частицы даже при действии сил. Это в сущности является требованием, чтобы наша теория удовлетворяла принципу соответствия или, иными словами, чтобы мы получали классический результат, когда точно не учитываются волновые свойства материи (т. е. интересуются только вопросом, как в среднем движется волновой пакет).

25. Общая формула для производных по времени от средних значений переменных.

Для дальнейшего уточнения вида оператора Не помощью принципа соответствия нам понадобится формула,

определяющая временное изменение среднего значения любого оператора О. Итак, мы хотим вычислить

Отметим, что производная характеризует только явную зависимость О от времени. Поэтому для операторов но для имеем Отметим также, что эрмитовский оператор, если оператор О также эрмитовский. Выражая через через опять получаем

Исходя из нашего определения эрмитовски сопряженного оператора (см. (9.23)), имеем

Так как должен быть эрмитовским оператором, то выражение (9.36) можно переписать

Это означает, что если известен коммутатор любого оператора О с оператором то всегда можно получить производную О по времени.

Заметим, что мы вычислили полную производную среднего значения О. Величина производной частично зависит от изменений а частично от изменений самого оператора О, вызванных его явной зависимостью от времени. Поэтому важно отметить. Что сильно отличается от