5. Разложение полей в ряд Фурье.

Функция может быть, таким образом, любым подходящим решением уравнений Максвелла с единственным ограничением, налагаемым нашими граничными условиями, чтобы она была периодической в пространстве с периодом где целое число. Существует хорошо известная математическая теорема, согласно которой произвольная периодическая функция может быть представлена при помощи ряда Фурье следующим образом:

где целые числа, пробегающие значения от до включая нуль. Любой выбор коэффициентов а и приводит к сходящемуся ряду, определяющему функцию которая периодична в том смысле, что она принимает то же самое значение каждый раз, когда х, у или меняются на Можно показать, что для заданной функции коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

Эти формулы показывают, что функция определяет только сумму коэффициентов а и разность коэффициентов

Из сказанного выше можно заключить, что функция полностью определяется величинами но мы предпочитаем сохранить ее определение через отдельные коэффициенты и так как это приводит к более простым математическим выражениям.

Уравнения (1.16) выводятся с помощью следующих условий ортогональности:

исключая случай или в этом случае интегралы в (1.17а) равны исключая случай когда

они равны

исключая случай или в этом случае интеграл в (1.176) равен [Читателю в виде упражнения предлагается доказать равенства (1.17а) и (1.176) и использовать полученные результаты для вывода формулы (1.16).]

Разложение в ряд Фурье в рассмотренной выше форме дает возможность представить произвольную функцию как сумму плоских стоячих волн всех возможных длин волн и амплитуд. Эта задача по существу такая же, как и при расчете колебаний струны или органной трубки, только здесь она не одномерная, а трехмерная.

Разложим теперь в ряд Фурье векторный потенциал. Так как А-вектор включает в себя три составляющих, то каждый из коэффициентов и также имеет три компоненты и, следовательно, должен быть представлен в виде вектора

Мы полагаем, что в написанных выше рядах коэффициент а равен нулю

Вводим теперь волновой вектор , определяемый формулами

Выбирая оси координат таким образом, чтобы ось была направлена вдоль вектора , получаем Из определения вектора к следует, что величина равна числу волн, укладывающихся на длине следовательно, длина волны равна или

В выбранной системе координат волна представляется в виде Следовательно, вектор к ориентирован вдоль направления изменения фазы волны. Переходя опять к произвольным координатным осям, можно сказать, что вектор к совпадает с направлением распространения волны. Величина его равна причем возможно пользоваться только теми его значениями по уравнению (1.18), которым соответствуют целые числа

При таком упрощении обозначений получаем

где суммирование распространяется по всем допустимым значениям к.