7. Преобразования спиноров.

Если надо определить среднее значение спина в произвольном направлении, то лучше всего воспользоваться векторным характером момента количества движения и записать

где и — соответственно углы между этим направлением и осями х, у, z.

Матрица имеет вид

Решим уравнение для определения собственных значений функции . В результате получаем

где — собственное значение Условие разрешимости этой системы дает

Мы видим, таким образом, что возможные собственные значения составляющих спина в произвольном направлении всегда равны Собственные функции равны

Задача 4. Доказать, что нормированы и ортогональны.

Ясно, что, выбирая любое направление за ось аналогичным образом можно применить спиновую теорию. Когда есть ряд эквивалентных способов для формулировки теории, то мы знаем (гл. 16, п. 15), что эти различные формулировки должны быть связаны унитарными преобразованиями. При получении унитарных преобразований, связывающих заметим, что справедливы следующие равенства:

Преобразование можно записать в виде Для доказательства того, что унитарная матрица, нужно показать, что

Задача 5. Доказать, что унитарный характер вытекает из того, что пары функций и нормированы и соответственно ортогональны.

Так как вышеприведенное преобразование поворачивает ось на определенный угол, то оно эквивалентно повороту на угол 7 около некоторой оси в плоскости Выбрав, например, получим вращение вокруг оси у. Легко показать, что соответствующая матрица равна

и преобразование принимает вид

Мы замечаем, что это преобразование напоминает вращение вектора (см. уравнения (16.6)), но только в формулы входит половина угла вращения. К этому вопросу мы вернемся позже.

Распространим теперь наши рассуждения на вращение вокруг оси Заметим в связи с этим, что должно быть возможным определение среднего значения спина в заданном направлении с использованием преобразованных операторов и преобразованных волновых функций Например, предположим, что мы исходим из заданной системы координат, и вычислим

Повернем теперь координатную систему вокруг оси на угол 9. Предположим, что волновая функция при этом примет вид 11 в то время как оператор можно выразить следующим образом:

Тогда среднее значение будет равно

Возможно путем унитарного преобразования выразить величины и через Это унитарное преобразование должно обладать следующим свойством: среднее значение преобразованного оператора можно определить с помощью преобразованных волновых функций таким же путем, как определялось среднее значение первоначального оператора с помощью первоначальных волновых функций. Таким образом, при произвольных С, и мы хотим получить

Из исследования выражения (17.35) очевидно, что для этого требуется

Читатель может легко проверить, что вышеприведенные соотношения являются частным случаем унитарного преобразования. В матричном представлении уравнение (17.36) мсжет быть записано так:

Наиболее общее вращение можно составить из последовательных поворотов около осей Поэтому проведенные выше рассуждения легко обобщаются на случай унитарного преобразования, соответствующего произвольному повороту.

Заметим, что в уравнениях (17.37) и (17.31а) в матричные элементы входит половинный угол вращения. Эти уравнения следует сравнивать с уравнениями (16.6), где приведены матрицы, определяющие поворот вектора вокруг оси . В уравнениях (16.6) в матричные элементы входят полные углы поворота. Другими словами, комплексные вектор-столбцы испытавшие преобразование поворота, похожи в смысле этого преобразования на векторы, с тем лишь отличием, что в него входят половинные углы поворота. Поэтому вектор-столбцы представляют собой новый тип величин, аналогичных векторам, но не совпадающих с ними. Их часто называют «спинорами» или «полувекторами». Можно показать [41], что спиноры представляют собой наиболее общее представление группы вращения, поскольку из них можно образовать все обычные векторы и тензоры, а также новые представления, которые отсутствуют в обычной теории векторов и тензоров. Кроме того, спиноры тесно связаны с кватернионами, а также с параметрами Кэйли — Клейна (см. [42], гл. 1; [43], гл. 4).