9. Измерение импульса.

Рассмотрим метод измерения импульса путем измерения скорости с помощью эффекта Доплера для света, излучаемого частицей. Такой метод практически применяется при измерении скорости излучающих атомов. (Например, скорость звезды часто находят, измеряя так называемое красное смещение.) Связь между смещением Доплера и скоростью имеет вид

где частота, излученная покоящимся атомом, а движущимся атомом. Отметим, что формула (5.5) является нерелятивистским приближением.

Положение частицы в момент времени можно, в принципе, зафиксировать с произвольно высокой точностью. Например, это можно было бы сделать, заставив частицу пройти в этот момент через очень тонкую щель. Конечно, при этом не будет известна скорость частицы, хотя именно ее мы и пытаемся измерить. Неопределенность в скорости зависит от точности, с которой можно измерить а хорошо известно, что неопределенность в определении величины V равна где время прохождения цуга волн излученного света. Поэтому желательно иметь длинный волн. Длина цуга волн определяется временем, которое требуется атому для излучения энергии. Принципиально волн можно сделать произвольно длинным, выбирая атомы, которые достаточно медленно излучают.

Поскольку излучение происходит квантами, то существует минимально возможная величина импульса, передаваемого электрону, С той же точностью, с какой возможно мерить можно вычислить передачу импульса, и если бы были сделаны совершенно точные измерения, то не было бы никакой неопределенности. Это очень важное обстоятельство, показывающее, что существование минимальной возможной величины передаваемого импульса не препятствует измерению импульса частицы с произвольной точностью. Хотя при этом измерении приходится изменять величину импульса, но величина этого изменения известна и поэтому может быть учтена. Неточность в измерении может возникнуть только, если какая-нибудь существенная характеристика системы так изменяется во время измерения, что это изменение нельзя предсказать и проконтролировать заранее. В рассматриваемом опыте

непредсказываемой и неконтролируемой величиной является время испускания кванта света. О нем известно лишь то, что он излучается в какой-то момент времени в интервале от 0 до Мы не в состоянии измерить это время более точно без того, чтобы это не уменьшило возможную точность измерения частоты кванта.

Когда квант уже излучен, то наступает резкое изменение скорости электрона, даваемое выражением Следовательно, существует интервал времени где-то между в течение которого электрон может двигаться со скоростью, отличной от той, которую мы измеряем. В результате этого возникает неопределенность в положении, занимаемом частицей, равная

Таким образом, мы получаем

Но из уравнения (5.5) имеем

Для нерелятивистского случая, который здесь рассматривается, Поэтому окончательно находим

В результате невозможности полных предсказаний и контролируемости времени испускания кванта здесь возникает довольно интересный эффект. Хотя положение электрона перед измерением импульса (при ) было достаточно точно определено, но динамическая связь между этим положением и положениями, в которые переходит электрон после передачи кванта, нарушается в процессе измерения. Таким образом, хотя импульс в процессе измерения и делается более определенным, но положение при этом делается менее определенным. Аналогичный результат должен был бы получиться и в опыте по измерению положения электрона с помощью микроскопа, если импульс до измерения был точно определен. В этом случае в процессе измерения подобным же образом нарушается динамическая связь между импульсом до и после передачи кванта. Поэтому хотя положение и делается более определенным, но импульс становится менее определенным (в связи с этим см. гл. 8, пп. 14, 15).